【題目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點,一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合,將三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB,BC(或它們的延長線)于點M,N,設(shè)∠AEM=α(0°<α<90°),給出下列四個結(jié)論: ①AM=CN;
②∠AME=∠BNE;
③BN﹣AM=2;
④SEMN=
上述結(jié)論中正確的個數(shù)是(

A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】C
【解析】解:①如圖,
在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中點,
作EF⊥BC于點F,則有AB=AE=EF=FC,
∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,
∴∠AEM=∠FEN,
在Rt△AME和Rt△FNE中,

∴Rt△AME≌Rt△FNE,
∴AM=FN,
∴MB=CN.
∵AM不一定等于CN,
∴①錯誤,
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE,
∴∠AME=∠BNE,
∴②正確,
③由①得,BM=CN,
∵AD=2AB=4,
∴BC=4,AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,
∴③正確,
④方法一:如圖,

由①得,CN=CF﹣FN=2﹣AM,AE= AD=2,AM=FN
∵tanα= ,
∴AM=AEtanα
∵cosα= = ,
∴cos2α=
=1+ =1+( 2=1+tan2α,
=2(1+tan2α)
∴SEMN=S四邊形ABNE﹣SAME﹣SMBN
= (AE+BN)×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM
= (AE+BC﹣CN)×2﹣ AE×AM﹣ (BC﹣CN)×CN
= (AE+BC﹣CF+FN)×2﹣ AE×AM﹣ (BC﹣2+AM)(2﹣AM)
=AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ (2+AM)(2﹣AM)
=AE+AM﹣ AE×AM+ AM2
=AE+AEtanα﹣ AE2tanα+ AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2(1+tan2α)
=
方法二,∵E是AD的中點,
∴AE= AD=2,
在Rt△AEM,cosα= ,
∴EM= =
由(1)知,Rt△AME≌Rt△FNE,
∴EM=EN,∠AEM=∠FEN,
∵∠AEF=90°,
∴∠MEN=90°,
∴△MEN是等腰直角三角形,
∴SMEN= EM2=
∴④正確.
故選C.
【考點精析】掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.

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