Question

如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上．
（1）求∠AED的度數(shù)；
（2）求證：AB=BC；
（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30°，求

DF

FC

的值．

Answer 1

（1）∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
由等邊△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）證明：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故點(diǎn)A在線段DE的垂直平分線上．
由△DCE是等邊三角形得CD=CE，故點(diǎn)C也在線段DE的垂直平分線上．
∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE．
連接AC，∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ACB=45°，
∴BA=BC．

（3）∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
連接AF，BF、AD的延長線相交于點(diǎn)G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，F(xiàn)B=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即點(diǎn)F是線段CD的中點(diǎn)．
∴

DF

FC

=1．