【題目】如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),且和B、C不重合,連接PA,過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于E.設(shè)BP=x,CE=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,求m的取值范圍;
(3)如圖2,若m=4,將△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90°,求BP長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:∵∠APB+∠CPE=90°,∠CEP+∠CPE=90°,
∴∠APB=∠CEP,又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCE,
∴ ,即 ,
∴y= x2+ x.
(2)
解:∵y= x2+ x= (x﹣ )2+ ,
∴當(dāng)x= 時(shí),y取得最大值,最大值為 .
∵點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,
∴ ≤1,解得m≤ .
∴m的取值范圍為:0<m≤ .
(3)
解:由折疊可知,PG=PC,EG=EC,∠GPE=∠CPE,
又∵∠GPE+∠APG=90°,∠CPE+∠APB=90°,
∴∠APG=∠APB.
∵∠BAG=90°,∴AG∥BC,
∴∠GAP=∠APB,
∴∠GAP=∠APG,
∴AG=PG=PC.
【解析】(1)證明△ABP∽△PCE,利用比例線段關(guān)系求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)(1)中求出的y與x的關(guān)系式,利用二次函數(shù)性質(zhì),求出其最大值,列不等式確定m的取值范圍;(3)根據(jù)翻折的性質(zhì)及已知條件,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)度.解答中提供了三種解法,可認(rèn)真體會(huì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點(diǎn),連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.
(1)求證:AEBC=ADAB;
(2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC= ,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500m,先到終點(diǎn)
的人原地休息.已知甲先出發(fā)2s.在跑步過(guò)程中,甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時(shí)間t(s)之間的關(guān)系
如圖所示,給出以下結(jié)論:①a=8;②b=92;③c=123.其中正確的是【 】
A.①②③ B.僅有①② C.僅有①③ D.僅有②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】方程x2+3x﹣1=0的根可視為函數(shù)y=x+3的圖象與函數(shù) 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),則方程x3+2x﹣1=0的實(shí)根x0所在的范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為聲援揚(yáng)州“運(yùn)河申遺”,某校舉辦了一次運(yùn)河知識(shí)競(jìng)賽,滿(mǎn)分10分,學(xué)生得分為整數(shù),成績(jī)達(dá)到6分以上(包括6分)為合格,達(dá)到9分以上(包含9分)為優(yōu)秀.這次競(jìng)賽中甲乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.
(1)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表:
組別 | 平均分 | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.7 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙組 | 7.5 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同學(xué)說(shuō):“這次競(jìng)賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說(shuō)他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績(jī)好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說(shuō)法,認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組.請(qǐng)你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點(diǎn)的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣ x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線AB上,且OC= AB,反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則所有可能的k值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料
如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點(diǎn)D在AB邊上,AB、EF的中點(diǎn)均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.
解決問(wèn)題
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時(shí)線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點(diǎn)均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;如不成立,請(qǐng)求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點(diǎn)均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請(qǐng)直接寫(xiě)出 的值(用含α的式子表示出來(lái))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,且AB=8,點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn).將此半圓沿BC所在的直線折疊,若圓弧BC恰好過(guò)圓心O,則圖中陰影部分的面積是 . (結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,路邊有一根電線桿AB和一塊正方形廣告牌(不用考慮牌子的厚度).有一天,小明突然發(fā)現(xiàn),在太陽(yáng)光照射下,電線桿頂端A的影子剛好落在正方形廣告牌的上邊中點(diǎn)G處,而正方形廣告牌的影子剛好落在地面上E點(diǎn),已知BC=5米,正方形邊長(zhǎng)為2米,DE=4米.則此時(shí)電線桿的高度是( 。┟祝
A.8
B.7
C.6
D.5
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