【題目】如圖,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點(diǎn)F為BE的中點(diǎn),連接CF,DF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上時(shí)
①證明:△BFC是等腰三角形;
②請(qǐng)判斷線(xiàn)段CF,DF的關(guān)系?并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),請(qǐng)判斷(1)中②的結(jié)論是否仍然成立?并證明你的判斷.
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②結(jié)論:CF=DF且CF⊥DF.理由見(jiàn)解析;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)、根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”可知CF=BF=EF,根據(jù)∠CFD=2∠ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°得出∠CFD=90°,從而得出答案;(2)、延長(zhǎng)DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,首先證明△BFG和△EFD全等,然后再證明△BCG和△ACD全等,從而得出GC=DC,∠BCG=∠ACD,∠DCG=∠ACB=90°,最后根據(jù)直角三角形斜中線(xiàn)的性質(zhì)得出答案.
詳解:(1)①證明:∵∠BCE=90°.EF=FB,∴CF=BF=EF,∴△BFC是等腰三角形.
②解:結(jié)論:CF=DF且CF⊥DF.理由如下:
∵∠ADE=90°,∴∠BDE=90°,又∵∠BCE=90°,點(diǎn)F是BE的中點(diǎn),∴CF=DF=BE=BF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠5=∠1+∠3=2∠1,∠6=∠2+∠4=2∠2,
∴∠CFD=∠5+∠6=2(∠1+∠2)=2∠ABC,
又∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∴∠CFD=90°,
∴CF=DF且CF⊥DF.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
如圖,延長(zhǎng)DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,∵F是BE的中點(diǎn),∴BF=EF,
又∵∠BFG=∠EFD,GF=DF,∴△BFG≌△EFD(SAS),∴∠FBG=∠FED,BG=ED,
∴BG∥DE,∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形,
∴DE=DA,∠DAE=∠DEA=45°,AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°,
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣(180°﹣∠AEB﹣∠EAB)﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=(∠DEF+∠AEB)+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB,
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB,
∴∠CBG=∠DAC,又∵BG=ED,DE=DA,∴BG=AD,又∵BC=AC,
∴△BCG≌△ACD(SAS),∴GC=DC,∠BCG=∠ACD,
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,又∵F是DG的中點(diǎn),∴CF⊥DF且CF=DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖中信息,回答下列問(wèn)題:
(1)a,b,c三個(gè)數(shù)中,為正數(shù)的數(shù)是 ,為負(fù)數(shù)的數(shù)是 ;
(2)將|a|,|b|,|c|三個(gè)數(shù)用不等號(hào)“<”連接起來(lái)是 ;
(3)化簡(jiǎn):|b﹣a|﹣|b+c|.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2(x1<x2),分別以x1,x2為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M(x1,x2),則稱(chēng)點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn).
(1)若方程為x2-2x=0,寫(xiě)出該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線(xiàn),兩條垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形,求m的值.
(3)是否存在b,c,使得不論k(k≠0)為何值,關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的衍生點(diǎn)M始終在直線(xiàn)y=kx-2(k-2)的圖象上,若有請(qǐng)直接寫(xiě)出b,c的值,若沒(méi)有說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全民健身運(yùn)動(dòng)已成為一種時(shí)尚,為了了解我市居民健身運(yùn)動(dòng)的情況,某健身館的工作人員開(kāi)展了一項(xiàng)問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷包括五個(gè)項(xiàng)目:A:健身房運(yùn)動(dòng);B:跳廣場(chǎng)舞;C:參加暴走團(tuán);D:散布;E:不運(yùn)動(dòng).
以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.
運(yùn)動(dòng)形式 | A | B | C | D | E |
人數(shù) | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
請(qǐng)你根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的共有 人,圖表中的m= ,n= ;
(2)統(tǒng)計(jì)圖中,A類(lèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,我市市民最喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)方式是 ,不運(yùn)動(dòng)的市民所占的百分比是 ;
(4)我市碧沙崗公園是附近市民喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所之一,每晚都有“暴走團(tuán)”活動(dòng),若最鄰近的某社區(qū)約有1500人,那么估計(jì)一下該社區(qū)參加碧沙崗“暴走團(tuán)”的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直線(xiàn)AB和某反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀(guān)察圖象,直接寫(xiě)出當(dāng)x滿(mǎn)足什么范圍時(shí),直線(xiàn)AB在雙曲線(xiàn)的下方;
(3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說(shuō)明理由;如果存在,求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y=x-1的圖象平行,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,6).
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式.
(2)求這個(gè)一次函數(shù)y=kx+b與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,AD上,且AF=CE.
(Ⅰ)如圖①,求證四邊形AECF是平行四邊形;
(Ⅱ)如圖②,若∠BAC=90°,且四邊形AECF是邊長(zhǎng)為6的菱形,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,AB與x軸的正半軸相交于點(diǎn)E,若E為AB的中點(diǎn),則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在抗洪搶險(xiǎn)中,解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿(mǎn)油沿東西方向的河流搶救災(zāi)民,早晨從地出發(fā),晚上到達(dá)地,然后返回到出發(fā)地.約定向東為正方向,當(dāng)天的航行路程記錄如下(單位:千米):
14,,,,13,,,
(1)請(qǐng)你幫忙確定地在地的_________方___________千米處;
(2)救災(zāi)過(guò)程中,沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)處有多遠(yuǎn)?
(3)若沖鋒舟每千米耗油0.4升,油箱容量為30升,晚上沖鋒舟能回到出發(fā)地嗎?若能,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不能,求沖鋒舟至少還需補(bǔ)充多少升油?
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