【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣1,且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.

(1)若直線(xiàn)y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求直線(xiàn)BC和拋物線(xiàn)的解析式;
(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:依題意得:

解之得: ,

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1,且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(1,0),

∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分別代入直線(xiàn)y=mx+n,

,

解之得: ,

∴直線(xiàn)y=mx+n的解析式為y=x+3


(2)

解:設(shè)直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。

把x=﹣1代入直線(xiàn)y=x+3得,y=2,

∴M(﹣1,2),

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)


(3)

解:設(shè)P(﹣1,t),

又∵B(﹣3,0),C(0,3),

∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1= ,t2= ;

綜上所述P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, ) 或(﹣1, ).


【解析】(1)先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式得到a和b,c的關(guān)系式,再根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程可得a和b的關(guān)系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線(xiàn)解析式;把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線(xiàn)解析式;(2)設(shè)直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。褁=﹣1代入直線(xiàn)y=x+3得y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);(3)設(shè)P(﹣1,t),又因?yàn)锽(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2 , PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí),發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一式子的平方.:

5+2=(2+3)+2=()2+()2+2=()2;

8+2=(3+5)+2=()2+()2+2=()2.

【類(lèi)比歸納】

(1)請(qǐng)你仿照小明的方法將9+2化成一個(gè)式子的平方;

(2)將下列等式補(bǔ)充完整:a+b+2=(    )2(a≥0,b≥0),并證明這個(gè)等式;

【變式探究】

(3)a+2=()2,a,m,n均為正整數(shù),a=    .

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C.
D.

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(1)

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(1)若小明同學(xué)心里想的是數(shù)9,請(qǐng)幫他計(jì)算出最后結(jié)果: [(9+1)2﹣(9﹣1)2]×25÷9
(2)老師說(shuō):“同學(xué)們,無(wú)論你們心里想的是什么非零數(shù),按照以上步驟進(jìn)行操作,得到的最后結(jié)果都相等.”小明同學(xué)想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,于是,設(shè)心里想的數(shù)是a(a≠0),請(qǐng)你幫小明完成這個(gè)驗(yàn)證過(guò)程.

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B. 以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與重合

C. 沿所在直線(xiàn)折疊后,重合

D. 沿所在直線(xiàn)折疊后,重合

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