Question

【題目】如圖，在銳角等腰三角形ABC中，AB＝AC，點O為△ABC外接圓的圓心，連結OC，過點B作AC的垂線，交⊙O于點D，交OC于點E，交AC于點F，連結AD和CD．

（1）若∠BAC＝2α，則∠BDA＝　 　（用含α的代數式表示）．

（2）①求證：OC∥AD；

②若E為OC的中點，求的值．

（3）若x＝，y＝，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）90°﹣α；（2）① 見解析；②；（3）y＝2﹣．

【解析】

（1）由“在銳角等腰三角形ABC中，AB＝AC，點O為△ABC外接圓的圓心”可知AG平分∠BAC，AG⊥BC，根據同弧所對的圓周角相等可得∠BDA=∠ BCA==90°﹣α；

（2）①由（1）知∠OAC＝α，∠ACB＝90°﹣α，且BD⊥AC可Rt△ADF中推知∠CAD＝∠OCA=α，即可證OC∥AD；

②由①知∠OAC＝α＝∠CAD，又BD⊥AC，可知AH＝AD；設OH＝a，在Rt△EFC和Rt△BGF中可證∠OEH＝∠OHE＝90°﹣α，從而證出OE＝OH＝a，加上E為OC的中點可得OA＝OC＝2a，AH＝OA+OH＝3a，的值即可求出；

（3）根據（1）所證，易證△BGH≌△CGM（ASA），從而HG＝MG；設MG＝m，⊙O的半徑為r，則可表示出OG＝r﹣m，AG＝2r﹣m，AH＝2r﹣2m，AD＝AH＝2r﹣2m，所以可得y＝2﹣；由BD⊥AC，易證∠ACD＝∠ABD＝90°﹣2α，而∠COM＝2∠CAM＝2α，所以可知∠BCE＝90°﹣2α，使∠BCE＝∠ACD，又由（2）知，∠CBE＝∠CAD＝α，所以△ACD∽△BCE，＝＝＝x，再在Rt△ACG和Rt△COG中分別用勾股定理表示出CG ，整理可得＝，然后代入y＝2﹣，即可求得y關于x的函數關系式．

解：（1）記AO交BD于H，交BC于G，

∵點O是等腰三角形△ABC的外接圓的圓心，

∴AG平分∠BAC，AG⊥BC，

∴∠CAG＝∠BAC＝α，

∴∠ACB＝90°﹣α，

∴∠BDA＝∠ACB＝90°﹣α，

故答案為：90°﹣α；

（2）①如圖1，

由（1）知，∠OAC＝α，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝α，

由（1）知，∠ACB＝90°﹣α，

∵BD⊥AC，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＝90°﹣∠ACB＝α，

∴∠CAD＝∠CBF＝α，

∴∠CAD＝∠OCA＝α，

∴OC∥AD；

②由①知，∠OAC＝α＝∠CAD，

∵BD⊥AC，

∴AH＝AD，

設OH＝a，

在Rt△EFC中，∠OCA＝α，

∴∠OEH＝∠CEF＝90°﹣α，

在Rt△BGF中，∠CBF＝α，

∴∠OHE＝∠BHG＝90°﹣α，

∴∠OEH＝∠OHE，

∴OE＝OH＝a，

∵點E是OC的中點，

∴OC＝2a，

∴OA＝OC＝2a，

∴AH＝OA+OH＝2a+a＝3a，

∴＝；

（3）如圖2，

記AO與⊙O的另一個交點為M，連接CM，

由（1）知，∠CBD＝∠BAG＝α，

∵∠BCM＝∠BAG＝α，

∴∠CBD＝∠BCM，

由（1）知，AG⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BG＝CG，

∴△BGH≌△CGM（ASA），

∴HG＝MG，

設MG＝m，⊙O的半徑為r，

∴OG＝r﹣m，AG＝2r﹣m，AH＝2r﹣2m，

由（2）知，AD＝AH＝2r﹣2m，

∵y＝，

∴y＝＝2﹣①，

∵BD⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣2α，

∵∠COM＝2∠CAM＝2α，

∴∠BCE＝90°﹣∠COM＝90°﹣2α，

∴∠BCE＝∠ACD，

由（2）知，∠CBE＝∠CAD＝α，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝＝，

∵x＝，

∴＝x，

∴AC2＝4xCG2，

在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2＝4xCG2﹣CG2＝（4x﹣1）CG2，

∴CG＝＝，

在Rt△COG中，CG＝＝，

∴＝，

∴，

∴，

∴﹣1＝4x﹣1，

∴＝②，

將②代入①中，得y＝2﹣2×＝2﹣，

即y關于x的函數關系式y＝2﹣．