Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D為AB邊上一動點（點D與點A、B不重合），聯(lián)結CD，過點D作DE⊥DC交邊BC于點E．

（1）如圖，當ED＝EB時，求AD的長；

（2）設AD＝x，BE＝y，求y關于x的函數解析式并寫出函數定義域；

（3）把△BCD沿直線CD翻折得△CDB'，聯(lián)結AB'，當△CAB'是等腰三角形時，直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）y＝（0＜x＜4）；（3）﹣或+

【解析】

（1）根據等角的余角相等，證明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，得到即可求出AD；

（2）求出sin∠B=，cos∠B=，表達出EH，BH，DH，證明△ACD∽△HDE，利用相似比即可解答；

（3）分兩種情形：①如圖31中，設CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分線的性質定理求出BD即可．②如圖32中，當CB′交BA的延長線于K時，同法可得BD．

解：（1）∵ED＝EB，

∴∠EDB＝∠B，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE＝∠A＝90°，

∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，

∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，

∴tan∠ACD＝tan∠B，

∴，

∴，

∴AD＝．

（2）如圖1中，作EH⊥BD于H．

在Rt△ACB中，

∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，

∴BC＝，

∴sin∠B=，cos∠B=

∵BE＝y，

∴EH＝BEsin∠B =y，BH＝BEcos∠B =y，

∴DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，

∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，

∴△ACD∽△HDE，

∴，

∴，

∴y＝（0＜x＜4）．

（3）①如圖3﹣1中，設CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N

∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，

∴CE＝E B′=CB′＝，

∴AE＝，

∵∠ACE=∠KCA，∠AEC=∠KAC=90°，

∴△ACE∽△KCA，

∴，即

∴AK＝，CK＝，

∴BK＝AB﹣AK＝4﹣，

∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，

∴DM＝DN，

∴，

∴BD＝BK＝﹣，

∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（﹣）＝+．

②如圖3﹣2中，當CB′交BA的延長線于K時，同法可得BD＝BK＝＝+，

∴AD＝AB﹣BD＝﹣．