【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作⊙O切線EF交BA的延長線于F.
(1)如圖1,求證:EF∥AC;
(2)如圖2,OP⊥AO交BE于點(diǎn)P,交FE的延長線于點(diǎn)M.求證:△PME是等腰三角形;
(3)如圖3,在(2)的條件下:CG⊥AB于H點(diǎn),交⊙O于G點(diǎn),交AC于Q點(diǎn),如圖2,若sinF= ,EQ=5,求PM的值.
【答案】
(1)解:證明:連接OE,
∵EF是圓的切線,
∴OE⊥FE,
∴∠F+∠FOE=90°,
∴AB為直徑,
∴∠C=90°,
∴∠ABC+∠CAB=90°,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE,
∵BE是∠B的平分線,
∴∠OBE=∠CBE,
∵∠FOE=∠OEB+∠OBE,
∴∠EOF=∠ABC,
∴∠F=∠CAB,
∴EF∥AC;
(2)解:連接OC,OE,
∵OP⊥AO交BE于點(diǎn)P,
∴∠OPB+∠OBE=90°,
∵∠OEB+∠MEB=90°,
∴∠OPB=∠MEB,
又∵∠OPB=∠EPM,
∴∠MEP=∠MPE,
∴MP=ME,
∴△PME是等腰三角形;
(3)解:連接OE,
∵∠F=∠CAB,
∴sinF=sin∠CAB= ,
∵EG⊥AB于H點(diǎn),
∴ ,
∴∠AEG=∠ABE,
∵∠ABE=∠EAC,
∴∠EAC=∠AEG,
∴AQ=EQ=5,
∵QH=3,AH=4,
∴EH=EQ+QH=8,
設(shè)OE=x,則OH=AO﹣AH=x﹣4,
在Rt△EHO中,x2=82+(x﹣4)2,
解得:x=10,
∴OE=10,
∵BE是∠B的平分線,
∴ ,
∴OE⊥AC,
∴∠CAB+∠AOD=90°,
∵∠EOM+∠AOD=90°,
∴∠EOM=∠CAB,
∴sin∠EOM= ,
∴tan∠EOM= = ,
∴ME= ,
∴PM=ME= .
【解析】(1)EF是圓的切線,因此;連接OE,OE⊥FE,即∠F+∠FOE=90°,AB為直徑,得出∠ABC+∠CAB=90°,再證明∠OEB=∠OBE,由BE是∠B的平分線,得出∠OBE=∠CBE,再證明∠F=∠CAB,即可得出結(jié)論。
(2)連接OC,OE,由OP⊥AO得出∠OPB與∠OBE互余,∠OEB與∠MEB互余,得出∠OPB=∠MEB,再根據(jù)對頂角相等,推出MP=ME,即可得出結(jié)論。
(3)連接OE,根據(jù)已知求出sin∠CAB的值及EH的長,在Rt△EHO中,根據(jù)勾股定理建立方程,解方程求出OE的長,再證明∠EOM=∠CAB,在Rt△EPM中,求出ME的長,即可得出PM的長。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B兩個工廠位于一段直線形河的異側(cè),A廠距離河邊AC=5km,B廠距離河邊BD=1km,經(jīng)測量CD=8km,現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處(河寬不計(jì))修一個污水處理廠E.
(1)設(shè)ED=x,請用x的代數(shù)式表示AE+BE的長;
(2)為了使兩廠的排污管道最短,污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時需要管道多長?
(3)通過以上的解答,充分展開聯(lián)想,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,請你猜想的最小值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒2cm的速度沿A→C→E運(yùn)動,最終到達(dá)點(diǎn)E.若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是t秒,那么當(dāng)t取何值時,△APE的面積等于10?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1、圖2是兩張形狀大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,線段AB、EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)如圖1,作出以AB為對角線的正方形并直接寫出正方形的周長;
(2)如圖2,以線段EF為一邊作出等腰△EFG(點(diǎn)G在小正方形頂點(diǎn)處)且頂角為鈍角,并使其面積等于4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中,錯誤的有( )
①在Rt△ABC中,已知兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為5;
②△ABC的三邊長分別為AB,BC,AC,若+=,則∠A=90°;
③在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,則△ABC是直角三角形;
④若三角形的三邊長之比為3:4:5,則該三角形是直角三角形.
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,且AE=EC,BE=ED,以AB為直徑的半圓過點(diǎn)E,圓心為O.
(1)利用圖1,求證:四邊形ABCD是菱形.
(2)如圖2,若CD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F,且直徑AB=8.
①△ABD的面積為 .
② 的長 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定:小汽車在城市街道上行駛速度不得超過70 km/h.如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30 m處,過了2 s后,測得小汽車與車速檢測儀間距離為50 m,這輛小汽車超速了嗎?
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