精英家教網(wǎng)如圖,⊙O1與⊙O2外切于點P,外公切線AB切⊙O1于點A,切⊙O2于點B,
(1)求證:AP⊥BP;
(2)若⊙O1與⊙O2的半徑分別為r和R,求證:
AP2
BP2
=
r
R

(3)延長AP交⊙O2于C,連接BC,若r:R=2:3,求tan∠C的值.
分析:(1)連接O2B,O1A,則AO1⊥AB,O2B⊥AB,所以AO1∥O2B,過點P作兩圓的公切線PF,交于AB于點F,作O1E⊥AP,O2D⊥BP.由垂徑定理可證得,點E,點D分別是AP,BP的中點,由弦切角定理和平行線的性質(zhì),可得到∠FPB+∠FPA=∠APB=90°,即AP⊥BP;
(2)設(shè)∠ABP=∠BO2D=∠APO1=β,利用正切的概念,求得(tanβ)2=
AP2
BP2
=
r
R
;
(3)由于∠ABP=∠C,故由(2)的結(jié)果,可得到tan∠C的值.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:如圖,連接O2B,O1A,則AO1⊥AB,O2B⊥AB,所以AO1∥O2B,
過點P作兩圓的公切線PF,交于AB于點F,作O1E⊥AP,O2D⊥BP.
根據(jù)垂徑定理,得點E,點D分別是AP,BP的中點.
根據(jù)弦切角定理知,∠ABP=∠FPB=
1
2
∠BO2P,∠BAP=∠FPA=
1
2
∠AO1P.
∵AO1∥O2B,
∴∠AO1P+∠BO2P=180°,
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°,
即AP⊥BP;

(2)證明:∵△APB是直角三角形.
∴∠ABP=∠BO2D=∠APO1
設(shè)∠ABP=∠BO2D=∠APO1=β,則有sinβ=
BP
2R
,cosβ=
AP
2r

∴tanβ=
r
R
BP
AP
=
r
R
1
tanβ
,
∴(tanβ)2=
AP2
BP2
=
r
R
,
AP2
BP2
=
r
R


(3)解:∵∠ABP=∠C,
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=
r
R
=
6
3
點評:本題綜合性較強(qiáng),綜合利用了切線的性質(zhì)、垂徑定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念等知識點,要靈活應(yīng)用各知識點.
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12、已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于點P,直線AB過點P交⊙O1于A,交⊙O2于B,點C、D分別為⊙O1、⊙O2上的點,且∠ACP=65°,則∠BDP=
65
度.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于M點,AF是兩圓的外公切線,A、B是切點,DF經(jīng)過O1、O2,分別交⊙O1于D、⊙O2于E,AC是⊙O1的直徑,BC經(jīng)過M點,連接AD.
(1)求證:AD∥BC;
(2)求證:MF2=AF•BF;
(3)如果⊙O1的直徑長為8,tan∠ACB=
34
,求⊙O2的直徑長.

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精英家教網(wǎng)如圖,⊙O1與⊙O2相交于C、D兩點,⊙O1的割線PAB與DC的延長線交于點P,PN與⊙O2相切于點N,若PB=10,AB=6,則PN=
 

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已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于A點,直線l與⊙O1、⊙O2分別切于B,C點,若⊙O1的半徑r1=2cm,⊙O2的半徑r2=3cm.求BC的長.

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已知如圖:⊙O1與⊙O2相交于AB兩點,過點A、B的直線分別與⊙O1交于C、E,與⊙O2交于D、F,連接CE、DF.
求證:CE∥DF.

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