Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于M點(diǎn)，AF是兩圓的外公切線，A、B是切點(diǎn)，DF經(jīng)過O₁、O₂，分別交⊙O₁于D、⊙O₂于E，AC是⊙O₁的直徑，BC經(jīng)過M點(diǎn)，連接AD．
（1）求證：AD∥BC；
（2）求證：MF²=AF•BF；
（3）如果⊙O₁的直徑長(zhǎng)為8，tan∠ACB=

3

4

，求⊙O₂的直徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同弧的圓周角相等，先證∠ADM=∠ACB，再證△O₁AD為等腰三角形，根據(jù)等量代換可證∠DAC=∠ACB，即可證得．
（2）要證結(jié)論，必先證△AMF∽△MBF，根據(jù)切線定理，即可證得∠ADO₁=∠MAB，又在第1問的基礎(chǔ)上進(jìn)行等量代換，就可證得AAA．
（3）由切割線定理和勾股定理多次結(jié)合使用，即可求得．

解答：（1）證明：∵∠DO₁A=∠CO₁M，O₁A=O₁D=O₁C=O₁M
∴∠ADO₁=∠O₁MC=∠DAO₁=∠O₁CM（1分）
∴DA∥CM（2分）

（2）證明：連接AM，（3分）
∵∠BME=∠O₁MC
又∵∠O₁MC=∠ADO₁∴∠BME=∠ADO₁
又∵AB切⊙O₁于A
∴∠ADO₁=∠MAB
∴∠MAB=∠BME∠F=∠F
∴△MBF∽△AMF（4分）
∴

MF

AF

=

BF

MF

即：MF²=AF•BF（5分）

（3）解：在Rt△ACB中，
∵tan∠ACB=

AB

AC

=

3

4

又∵AC=8
∴AB=6（6分）
∵BC=

62+82

=10
∵AB²=BM•BC
∴6²=BM×10
∴BM=3.6（7分）
又∵∠ACB=∠BME
∴tan∠BME=

3

4

=

BE

BM

∴BE=2.7（8分）
∴ME=

3.62+2.72

=4.5（9分）．

點(diǎn)評(píng)：切線長(zhǎng)定理和切割線定理是中考的熱點(diǎn)，掌握其用法，并與勾股定理和相似三角形綜合應(yīng)用，即可解答此類題．