Question

【題目】如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，下列結論正確的有（ ）個
①AE= （AB+AD）； ②∠DAB+∠DCB=180°； ③CD=CB；④S△ACE﹣S△BCE=S△ADC；⑤AD=AE．

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①在AE取點F，使EF=BE，

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE= （AB+AD），故①正確；
②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．
在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360﹣（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正確；
④易證△CEF≌△CEB，
∴S△ACE﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF ，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC ，
∴S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC ， 故④正確．
⑤由①知，AD=AF，且AF＜AE，所以AD＜AE，故⑤錯誤．
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解角的平分線(從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線)，還要掌握線段垂直平分線的性質(zhì)(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等)的相關知識才是答題的關鍵．