正方形ABCD在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,A在x軸正半軸上,D在y軸的負(fù)半軸上,AB交y軸正半軸于E,BC交x軸負(fù)半軸于F,OE=1,OD=4,拋物線y=ax2+bx-4過A、D、F三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)Q是拋物線上D、F間的一點,過Q點作平行于x軸的直線交邊AD于M,交BC所在直線于N,若S四邊形AFQM=數(shù)學(xué)公式S△FQN,則判斷四邊形AFQM的形狀;
(3)在射線DB上是否存在動點P,在射線CB上是否存在動點H,使得AP⊥PH且AP=PH?若存在,請給予嚴(yán)格證明;若不存在,請說明理由.

解:(1)依條件有D(0,-4),E(0,1).
∵∠EAO+∠OAD=90°,
∠ADO+∠OAD=90°,
∴∠EAO=∠ADO,
又∵∠AOE=∠AOD=90°,
∴△OEA∽△ADO知OA2=OE•OD=4.
∴A(2,0)由Rt△ADE≌Rt△ABF得DE=AF.
∴F(-3,0).
將A,F(xiàn)的坐標(biāo)代入拋物線方程,

∴a=b=
∴拋物線的解析式為y=x2+x-4;

(2)設(shè)QM=m,
S四邊形AFQM=(m+5)•|yQ|,S△FQN=(5-m)•|yQ|.
∴(m+5)•|yQ|=(5-m)•|yQ|
∴m=1
設(shè)Q(a,b),則M(a+1,b),

∴a2-2a-3=0,
∴a=-1(舍去a=3),b=-4,
此時點M坐標(biāo)為(0,-4)與點D重合,QF=AM,AF>QM,AF∥QM,
則AFQM為等腰梯形;

(3)在射線DB上存在一點P,在射線CB上存在一點H.
使得AP⊥PH,且AP=PH成立,證明如下:
當(dāng)點P如圖①所示位置時,不妨設(shè)PA=PH,過點P作PQ⊥BC,PM⊥CD,PN⊥AD,垂足分別為Q、M、N.
若PA=PH.由PM=PN得:
AN=PQ,
∴Rt△PQH≌Rt△APN
∴∠HPQ=∠PAN.
又∠PAN+∠APN=90°
∴∠APN+∠HPQ=90°
∴AP⊥PH.
當(dāng)點P在如圖②所示位置時,
過點P作PM⊥BC,PN⊥AB,
垂足分別為M,N.
同理可證Rt△PMH≌Rt△PAN.
∠MHP=∠NAP.
又∠MHP=∠HPN,
∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°,
∴PH⊥PA.
當(dāng)P在如圖③所示位置時,過點P作PN⊥BH,垂足為N,PM⊥AB延長線,垂足為M.
同理可證Rt△PNH≌Rt△PMA.
∴PH⊥PA.
注意:分三種情況討論,作圖正確并給出一種情況證明正確的,同理可證出其他兩種情況的給予;
若只給出一種正確證明,其他兩種情況未作出說明,可給;
若用四點共圓知識證明且證明過程正確的也沒有討論三種情況的.只給.

分析:(1)根據(jù)三角形△OEA∽△ADO,D(0,-4),E(0,1)可求出A點的坐標(biāo),再根據(jù)Rt△ADE≌Rt△ABF可求出F點的坐標(biāo),把A,F(xiàn)兩點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可取出未知數(shù)的值,進(jìn)而求出其解析式;
(2)根據(jù)“過Q點作平行于x軸的直線交邊AD于M,交BC所在直線于N”,又知AM∥CB,可以判斷,四邊形AMNF為平行四邊形,可得NM=AF=5,設(shè)QM=m,可用m表示出QN的長,利用S四邊形AFQM=S△FQN,可以求出m的值;可知若Q(a,b)則必有M(a+1,b),代入二次函數(shù)解析式,可求得M的坐標(biāo),依據(jù)坐標(biāo)特點可判斷四邊形的形狀;
(3)先根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)圖形可看出,有三種情況符合題目條件:
①通過證明Rt△PQH≌Rt△APN得到∠APN+∠HPQ=90°,進(jìn)一步得到AP⊥PH,
②通過證明Rt△PMH≌Rt△PAN和PN∥BH得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°,
③通過證明Rt△PNH≌Rt△PMA和PN∥AB,得到∠HPA=90°.
點評:此題是一道綜合題,考查了以下內(nèi)容:
(1)知識:用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根據(jù)二次函數(shù)的坐標(biāo)特點判斷四邊形的形狀、存在性動點問題;
(2)技能:對開放型問題進(jìn)行探索的能力和清晰的邏輯思維能力以及強(qiáng)大的計算能力.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)Q是拋物線上D、F間的一點,過Q點作平行于x軸的直線交邊AD于M,交BC所在直線于N,若S四邊形AFQM=
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S△FQN,則判斷四邊形AFQM的形狀;
(3)在射線DB上是否存在動點P,在射線CB上是否存在動點H,使得AP⊥PH且AP=PH?若存在,請給予嚴(yán)格證明;若不存在,請說明理由.
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