Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上．

（1）、求證：△ABE≌△ADF；

（2）、若等邊△AEF的周長(zhǎng)為6，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根據(jù)△AEF是等邊三角形，得出AE=AF，最后根據(jù)HL即可證出△ABE≌△ADF；

（2）根據(jù)等邊△AEF的周長(zhǎng)是6，得出AE=EF=AF的長(zhǎng)，再根據(jù)（1）的證明得出CE=CF，∠C=90°，從而得出△ECF是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理得出EC的值，設(shè)BE=x，則AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵AB＝AD，AE＝AF

∴Rt△ABE≌Rt△ADF；

（2）∵等邊△AEF的周長(zhǎng)是6，

∴AE=EF=AF=2，

又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF，

∴CE=CF，∠C=90°，

即△ECF是等腰直角三角形，

由勾股定理得CE2+CF2=EF2，

∴EC=，

設(shè)BE=x，則AB=x+，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，

解得x1=或x2=（舍去），

∴AB=+=，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．

考點(diǎn): 1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；