【題目】已知拋物線y=x2﹣2mx+m2+m﹣1(m是常數(shù))的頂點(diǎn)為P,直線:y=x﹣1
(1)求證:點(diǎn)P在直線上;
(2)當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn),∠ACM=∠PAQ(如圖),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若以拋物線和直線的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的m的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)(﹣4,﹣3);(3)m的值為0, , , , .
【解析】分析:(1)利用配方法得到y=(x-m)+m-1,點(diǎn)P(m,m-1),然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)P在直線l上;(2)當(dāng)m= -3時(shí),拋物線解析式為y=x+6x+5,根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出A(-5,0),易得C(0,5),通過解方程組 得P(-3,-4),Q(-2,-3),作ME⊥y軸于E,PF⊥x軸于F,QG⊥x軸于G,如圖,證明Rt△CME∽Rt△PAF,利用相似得,設(shè)M(x,x+6x+5),則,解得=0(舍去),= -4,于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,-3);(3)通過解方程組
得P(m,m-1),Q(m+1,m),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PQ=2,OQ=2m+2m+1,OP=2m-2m+1,然后分類討論:當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m+2m+1=2;當(dāng)PQ=OP時(shí),2m-2m+1=2;當(dāng)OP=OQ時(shí),2m+2m+1=2m-2m+1,再分別解關(guān)于m的方程求出m即可.
本題解析:
(1)證明:∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=(x﹣m)2+m﹣1,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m﹣1),
∵當(dāng)x=m時(shí),y=x﹣1=m﹣1,
∴點(diǎn)P在直線l上;
(2)解:當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線解析式為y=x2+6x+5,
當(dāng)y=0時(shí),x2+6x+5=0,解得x1=﹣1,x2=﹣5,則A(﹣5,0),
當(dāng)x=0時(shí),y=x2+6x+5=5,則C(0,5),
可得解方程組,解得或,
則P(﹣3,﹣4),Q(﹣2,﹣3),
作ME⊥y軸于E,PF⊥x軸于F,QG⊥x軸于G,如圖,
∵OA=OC=5,
∴△OAC為等腰直角三角形,
∴∠ACO=45°,
∴∠MCE=45°﹣∠ACM,
∵QG=3,OG=2,
∴AG=OA﹣OG=3=QG,
∴△AQG為等腰直角三角形,
∴∠QAG=45°,
∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣(∠PAQ+45°)=45°﹣∠PAQ,
∵∠ACM=∠PAQ,
∴∠APF=∠MCE,
∴Rt△CME∽Rt△PAF,
∴,
設(shè)M(x,x2+6x+5),
∴ME=﹣x,CE=5﹣(x2+6x+5)=﹣x2﹣6x,
∴,
整理得x2+4x=0,解得x1=0(舍去),x2=﹣4,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣4,﹣3);
(3)解:解方程組得或,則P(m,m﹣1),Q(m+1,m),
∴PQ2=(m+1﹣m)2+(m﹣m+1)2=2,OQ2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1,OP2=m2+(m﹣1)2=2m2﹣2m+1,
當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m2+2m+1=2,解得m1=,m2=;
當(dāng)PQ=OP時(shí),2m2﹣2m+1=2,解得m1=,m2=;
當(dāng)OP=OQ時(shí),2m2+2m+1=2m2﹣2m+1,解得m=0,
綜上所述,m的值為0, , , , .
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(2)線段 被直線 ;
(3)在直線 上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長最短,并算出這個(gè)最短長度.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:BF=2AE;
(2)若CD= ,求AD的長.
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(1)確定甲打第一場,再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位,求恰好選中乙同學(xué)的概率.
(2)請用樹狀圖法或列表法,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.
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【題目】如圖,13個(gè)邊長為1的小正方形,排列形式如圖,把它們分割,使分割后能拼成一個(gè)大正方形.請?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中(網(wǎng)格的邊長為1)中,用直尺作出這個(gè)大正方形.
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請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查學(xué)生共 人, = ,并將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)如果該校有學(xué)生2000人,請你估計(jì)該校選擇“跑步”這種活動(dòng)的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校讓每班在A、B、C、D四鐘活動(dòng)形式中,隨機(jī)抽取兩種開展活動(dòng),請用樹狀圖或列表的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“跑步”和“跳繩”的概率.
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(1)k=;
(2)若直線l過點(diǎn)D,求直線l的解析式;
(3)若直線l同時(shí)與邊AB和CD都相交,求b的取值范圍;
(4)若直線l沿線段AC從點(diǎn)A平移至點(diǎn)C,設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為P,問是否存在一點(diǎn)P,使△PAB為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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