Question

如圖，點P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，AP=CQ，PQ交AC于D，
（1）求證：DP=DQ；
（2）過P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）過點P作PM∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DPM=∠Q，判斷出△APM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得AP=PM，然后求出PM=CQ，再利用“角角邊”證明△DPM和△DQC全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得DM=DC，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE=EM，然后求出DE=

1

2

AC，代入數據進行計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，過點P作PM∥BC，則∠DPM=∠Q，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△APM是等邊三角形，
∴AP=PM，
又∵AP=CQ，
∴PM=CQ，
在△DPM和△DQC中，

∠DPM=∠Q ∠PDM=∠QDC PM=CQ

，
∴△DPM≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；

（2）∵△DPM≌△DQC，
∴DM=DC，
∵PE⊥AC，△APM是等邊三角形，
∴AE=EM，
∴DE=DM+EM=

1

2

AC，
∵等邊三角形ABC的邊BC=4，
∴AC=4，
∴DE=

1

2

×4=2．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出等邊三角形和全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．