（2011四川瀘州，26，7分）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)．

（1）求∠BPC的度數(shù)；

（2）求證：PA=PB+PC；

（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB=4，PC=2，求CM的長(zhǎng)度．

 

 

【答案】

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，

∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，

（2）在PA上截取PD=PC，

∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠ADC=120°，

∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∴PA=PB+PC；

（3）∵△CDM∽△ACM，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，

設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，∵△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，

即3x：4=（2-x）：2x，解得，x=（舍去負(fù)號(hào)），則x=，∴CM= ．

 

【解析】略

 

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