Question

（2011•撫順一模）如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)M（0，-4），動(dòng)點(diǎn)P從M點(diǎn)出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸的某點(diǎn)E，再沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上某點(diǎn)F，最后沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，AB ²=（AO+BO）²=25，即可得出△ABC的形狀；
（3）作C關(guān)于x=

3

2

的對(duì)稱點(diǎn)C′，M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′C′交x軸于點(diǎn)F、拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，利用勾股定理求出即可，或者做M點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（3，-4），做C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，2），連接M'C'，進(jìn)而得出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx-2經(jīng)過A（-1，0），
∴0=

1

2

-b-2，
解得：b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）當(dāng)x=0，∴y=-2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-2），
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2與x軸交于A、B，
∴0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），
∴AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，
BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，
AB ²=（AO+BO）²=25，
∴AC ²+BC ²=AB²，
∴△ABC的形狀是直角三角形；

（3）①作C關(guān)于x=

3

2

的對(duì)稱點(diǎn)C′，
M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′C′交x軸于點(diǎn)F、拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，
則有：MF+FE+EC為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程，
求出直線M′C′：y=-2x+4，
求出點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)E（

3

2

，1），
最短路線為：3

5

．
②做M點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（3，-4），
做C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，2），
連接M'C'，則M'C'長(zhǎng)度即為所求最小長(zhǎng)度3

5

；
M'C'與x軸交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，
而M'C'與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，
F點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），
E點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用和最短路徑問題以及直角三角形的判定方法等知識(shí)，根據(jù)已知結(jié)合圖象得出最短路徑求法是解題關(guān)鍵．