【題目】如圖,在△ABC中,點D為BC邊的中點,以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB,AC交于點E,F(xiàn),且∠EDF與∠A互補.
(1)如圖1,若AB=AC,且∠A=90°,則線段DE與DF有何數(shù)量關(guān)系?請直接寫出結(jié)論;

(2)如圖2,若AB=AC,那么(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;

(3)如圖3,若AB:AC=m:n,探索線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)解:DF=DE,

理由:如圖1,連接AD,

∵Rt△ABC是等腰三角形,

∴∠C=∠B=45°,

∴D是斜邊BC的中點,

∴∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°,AD⊥BC,

∴AD=DC,

∵∠EDF=90°,

∴∠ADF+∠ADE=90°,

∵AD⊥BC,

∴∠ADC=90°,

∴∠ADF+∠FDC=90°,

∴∠ADE=∠FDC,

在△ADE和△CDF中, ,

∴△AED≌△CFD(ASA);

∴DE=DF;


(2)解:DE=DF依然成立.

如圖2,過點D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,

則∠EMD=∠FND=90°,

∵AB=AC,點D為BC中點,

∴AD平分∠BAC,

∴DM=DN,

∵在四邊形AMDN中.,∠DMA=∠DNA=90°,

∴∠MAN+∠MDN=180°,

又∵∠EDF與∠MAN互補,

∴∠MDN=∠EDF,

∴∠1=∠2,在△DEM與△DFN中, ,

∴△DEM≌△DFN(ASA),

∴DE=DF.


(3)解:結(jié)論DE:DF=n:m.

如圖3,過點D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,

同(2)可證∠1=∠2,

又∵∠EMD=∠FND=90°,

∴△DEM∽△DFN,

∵點D為BC邊的中點,

∴SABD=SADC,

,

又∵ ,


【解析】(1)DF=DE,理由:如圖1,連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的三線合一得∠C=∠B=45°,∠DAB=∠DAC=45°,AD⊥BC,然后根據(jù)同角的余角相等得出∠ADE=∠FDC,進而利用ASA判斷出△AED≌△CFD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DE=DF;
(2)DE=DF依然成立.如圖2,過點D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,根據(jù)等腰三角形的三線合一得出AD平分∠BAC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DM=DN,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出∠MAN+∠MDN=180°,又根據(jù)同角的補角相等得出∠MDN=∠EDF,進而得出∠1=∠2,然后根據(jù)ASA判斷出△DEM≌△DFN,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論;
(3)結(jié)論DE:DF=n:m.如圖3,過點D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,由AA判斷出△DEM∽△DFN,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出=,根據(jù)等底同高的兩個三角形面積相等得出SABD=SADC,得出等積式,再根據(jù)等量代換得出結(jié)論。
【考點精析】掌握等腰直角三角形和角平分線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上.

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