Question

【題目】如圖，若折疊矩形的一邊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，已知折痕且．以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求的值；

(2)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且始終滿足，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使得？若能，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，若在軸上存在一點(diǎn)，使有最小值，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，；（3）點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．

【解析】

（1）由折疊和矩形的性質(zhì)可知：∠EDB=∠BCE=90°，可證△ABD∽△ODE，從而求c；

（2）由（1）中的相似三角形可求得DA、AB，進(jìn)而求出F的坐標(biāo)，得BF=DF.再利用直角三角形的性質(zhì)可得MD=MB，從而推導(dǎo)出結(jié)論；

（3）設(shè)拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交BC于點(diǎn)G.可求得DM=DN=DG，進(jìn)而得出M、N為滿足條件的點(diǎn)Q.

解：（1）由，設(shè)，則，，∴．

由題意，得，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，∴，

∴．

∵，在中，由勾股定理，得，即，

解得．∴．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴．

（2）假設(shè)存在．

由（1）知，，∴，．

∴．

易求直線BE的解析式為．

設(shè)，作PG⊥x軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)H．

∵，，

∴．

① 圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

則，

，，

∴．

∵點(diǎn)在線段BE上．

∴．

解得（舍去）或．

∴．

② 圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

則，，．

∴．

∵點(diǎn)在線段BE上，

∴，

解得（舍去）或．

∴

綜上，存在點(diǎn)，，使得．

（3）∵，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，∴．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，與軸的交點(diǎn)就是使得有最小值的點(diǎn)．

顯然，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大．

設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則，

∴，∴．

令，

即，

∴，

解得（舍去），．

∴直線的解析式為．

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．

如圖4，當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則．連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)就是使得有最小值的點(diǎn)．

顯然，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大．設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則．

∴，∴．

令，

即，

∴，

解得（舍去），．

∴直線的解析式為．

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為．

∵，∴，∴，

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．