Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,BC=16，DC=12，AD=21，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在線段CB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t(秒).

（1）設(shè)△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí),以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）s=96﹣6t （2）或

【解析】

（1）點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形，根據(jù)三角形的面積公式就可以利用t表示，就得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．

在Rt△PMQ中根據(jù)勾股定理，就得到一個(gè)關(guān)于t的方程，就可以求出t.

解：（1）過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16﹣t，

∴S=QBPM=（16﹣t）×12=96﹣6t

（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，

由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，

此時(shí)，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程無解，

∴BP≠BQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合題意，舍去）．

綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．