【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD.
(1)求證:OP=OG;
(2)若設(shè)AP為x,試求CG(用含x的代數(shù)式表示);
(3)求AP的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:如圖所示:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,

∵△ABP沿BP翻折至△EBP,

∴△ABP≌△EBP,

∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,

在△ODP和△OEG中,

∴△ODP≌△OEG(ASA),

∴OP=OG;


(2)解:∵△ODP≌△OEG,

∴PD=GE,

∴DG=EP,

設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6﹣x,DG=x,

∴CG=8﹣x,BG=8﹣(6﹣x)=2+x;


(3)解:由勾股定理得:BC2+CG2=BG2

即62+(8﹣x)2=(x+2)2,

解得:x=4.8,

∴AP=4.8.


【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得出∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,由折疊的性質(zhì)得出△ABP≌△EBP,得出EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,由ASA證明△ODP≌△OEG,得出OP=OG;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出PD=GE,得出DG=EP,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6﹣x,DG=x,得出CG=8﹣x,BG=2+x;(3)由勾股定理得出方程,解方程即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用翻折變換(折疊問題),掌握折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和角相等即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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