Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　 ， 　 ），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　 ， 　 ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　 ， 　 ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　 ， 　 ）；
（2）點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合）
①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，若PE=PC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②在①的條件下，點(diǎn)F是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且點(diǎn)F到EA和ED的距離相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng)；
③若點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)R是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)R不與點(diǎn)A、C重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出△PQR周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，則y=2，

∴A（0，2），

令y=0，則﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），

∴B（﹣3，0），C（1，0），

由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），

故答案為：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；

（2）

解：①設(shè)P（n，0），則E（n，﹣n2﹣n+2），

∵PE=PC，

∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），

∴當(dāng)n=﹣時(shí)，1﹣n=，

∴E（﹣，），

②如圖1，設(shè)直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，

根據(jù)E、D的坐標(biāo)求得直線ED的斜率為，根據(jù)E、A的坐標(biāo)求得直線EA的斜率為﹣，

∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形，△AEN是以AN為底邊的等腰三角形，

∵到EA和ED的距離相等的點(diǎn)F在頂角的平分線上，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是E點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，

∴EF=或；

③根據(jù)題意得：當(dāng)△PQR為△ABC垂足三角形時(shí)，周長(zhǎng)最小，所以P與O重合時(shí)，周長(zhǎng)最小，

如圖2，作O關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，作O關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF交AB于Q，交AC于R，

此時(shí)△PQR的周長(zhǎng)PQ+QR+PR=EF，

∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），

∴AB==，AC==，

∵S△AOB=×OE×AB=OAOB，

∴OE=，

∵△OEM∽△ABO，

∴==，即==，

∴OM=，EM=

∴E（﹣，），

同理求得F（，），

即△PQR周長(zhǎng)的最小值為EF==．

　

【解析】（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式可知D（﹣1，）；
（2）①設(shè)P（n，0），則E（n，﹣n2﹣n+2），根據(jù)已知條件得出﹣n2﹣n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐標(biāo)；
②根據(jù)直線ED和EA的斜率可知直線與坐標(biāo)軸的交角相等，從而求得與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得EF的長(zhǎng)；
③根據(jù)題意得：當(dāng)△PQR為△ABC垂足三角形時(shí)，周長(zhǎng)最小，所以P與O重合時(shí)，周長(zhǎng)最小，作O關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，作O關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF交AB于Q，交AC于R，此時(shí)△PQR的周長(zhǎng)PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得．