Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標
（3）直線l經過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動，直線m經過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）解：如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= AB×OC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），

則M點坐標為（x，x﹣3），

∵P點在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PMmax= ，則S△PBC= × = ，

此時P點坐標為（ ，﹣ ）

（3）解：如圖2，設直線m交y軸于點N，交直線l于點G，

則∠AGP=∠GNC+∠GCN，

當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AON和Rt△NOB中，

∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N點坐標為（0，﹣1），

設直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線m解析式為y= x﹣1，

即存在滿足條件的直線m，其解析式為y= x﹣1．

【解析】（1）利用待定系數法即可得出結論；（2）先確定出點A的坐標，進而求出AB，再用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積，最后求出PM，即可建立三角形PBC的面積的函數關系式，即可得出結論；（3）先判斷出∠ACO=∠OBN進而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可確定出N點坐標為（0，﹣1），最后用待定系數法即可得出結論．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�