Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，.點(diǎn)Р從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段以每秒5個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O向上作射線OKIBC，交折線段于點(diǎn)E．點(diǎn)P、O同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，為點(diǎn)Р與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.

（1）點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值，并指出此時(shí)BQ的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí)，t為何值能使？

（3）t為何值時(shí)，四點(diǎn)P、Q、C、E成為一個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)？

（4）能為直角三角形時(shí)t的取值范圍________.（直接寫出結(jié)果）

（注：備用圖不夠用可以另外畫）

Answer 1

【答案】(1) 秒，；（2）詳見解析；（3）；（4）或．

【解析】

（1）把BA，AD，DC它們的和求出來再除以速度每秒5個(gè)單位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的長；

（2）如圖1，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，用t分別表示QC，BA，AP，然后就可以得出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出t；

（3）分情況討論，當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，E在CD上運(yùn)動(dòng)．0≤t≤10，QC的長度≤30，PE的長度>AD=75，QC<PE，此時(shí)不能構(gòu)成以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的平行四邊形；當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD上，E在AD上，且P在E的左側(cè)時(shí)，P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形可能是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出其解就可以得出結(jié)論；當(dāng)P在E點(diǎn)的右側(cè)且在AD上時(shí)，t≤25，P、Q、C、E為直角梯形，當(dāng)P在CD上，E在AD上QE與PC不平行，P、Q、C、E不可能為平行四邊形，

（4）①當(dāng)點(diǎn)P在BA（包括點(diǎn)A）上，即0<t≤10時(shí)，如圖2．過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則PG=PBsinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時(shí)△PQE總能成為直角三角形

②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD（不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D）上，即10<t≤25時(shí)，如圖1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時(shí)，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．③當(dāng)點(diǎn)P在DC上（不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C），即25<t≤35時(shí)，如圖3．由ED>25×3-30=45，

可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會(huì)是直角．由∠PEQ<∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．對(duì)于∠PQE，

∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點(diǎn)P與C重合，即t=35時(shí)，如圖4，∠PQE=90°，△PQE為直角三角形．

解：(1)t=(50+75+50)÷5=35(秒)時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C，

此時(shí)，QC=35×3=105，

∴BQ的長為135105=30.

(2)如圖1,若PQ∥DC，

∵AD∥BC，

∴四邊形PQCD為平行四邊形，

∴PD=QC，

由QC=3t，BA+AP=5t

得50+755t=3t,

解得t=.

∴當(dāng)t=時(shí),PQ∥DC.

(3)當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，E在CD上運(yùn)動(dòng).0t10，QC的長度30，PE的長度>AD=75，QC<PE，此時(shí)不能構(gòu)成以P、Q、C. E為頂點(diǎn)的平行四邊形；

當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD上，E在AD上，且P在E的左側(cè)時(shí)，P、Q、C. E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如圖5，

∴PE=QC.

如圖1,作DH⊥BC于H,AG⊥BC于G，

∠AGB=∠DHC=90

∴四邊形AGHD是矩形，

∴GH=AD=75.AG=DH.

在△ABG和△DCH中，

∴△ABG≌△DCH，

∴BG=CH=(13575)=30,

∴ED=3(t10)

∵AP=5t50，

∴PE=75(5t50)3(t10)=1558t.

∵QC=3t，

∴1558t=3t，

t=.

當(dāng)P在E點(diǎn)的右側(cè)且在AD上時(shí)，t25，P、Q、C. E為直角梯形，

當(dāng)P在CD上，E在AD上QE與PC不平行，P、Q、C. E不可能為平行四邊形，

∴t=；

(4)①當(dāng)點(diǎn)P在BA(包括點(diǎn)A)上,即0<t10時(shí),如圖2.

過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則PG=PBsinB=4t，

又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時(shí)△PQE總能成為直角三角形。

②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD(不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D)上，即10<t25時(shí)，如圖1.

由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時(shí)，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合，

即5t50+3t30≠75,解得t≠.③當(dāng)點(diǎn)P在DC上(不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C)，

即25<t35時(shí)，如圖3.由ED>25×330=45，可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會(huì)是直角。由∠PEQ<∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角

對(duì)于∠PQE，∠PQE∠C, 只有當(dāng)點(diǎn)P與C

重合,即t=35時(shí),如圖4,∠PQE=90，△PQE為直角三角形。

綜上所述,當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí),t的取值范圍是0<t25且t≠或t=35.

故答案為：0<t25且t≠或t=35.