Question

如圖，矩形ABCD是一塊需探明地下資源的土地，E是AB的中點，EF∥AD交CD于點F，探測裝置（設(shè)為點P）從E出發(fā)沿EF前行時，可探測的區(qū)域是以點P為中心，PA為半徑的一個圓（及其內(nèi)部）．當(dāng)（探測裝置）P到達(dá)點P₀處時，⊙P₀與BC、EF、AD分別交于G、F、H點．
（1）求證：FD=FC；
（2）指出并說明CD與⊙P₀的位置關(guān)系；
（3）若四邊形ABGH為正方形，且三角形DFH的面積為（2

2

-2）平方千米，當(dāng)（探測裝置）P從點P₀出發(fā)繼續(xù)前行多少千米到達(dá)點P₁處時，A、B、C、D四點恰好在⊙P₁上．

Answer 1

分析：（1）要證明FD=FC，只要證明AD∥EF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求解．
（2）DF與⊙P₀相切．要證明DF與⊙P₀相切，只要證明EF過圓心P₀，OF過半徑P₀F的外端，就可以求解．
（3）易證HG∥CD，Rt△P₀MH是等腰直角三角形，根據(jù)S_△HDF=

1

2

HD•DF，就可以求出NE=MF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
又∵AE=BE，
∴DF=FC．（1分）

（2）解：DF與⊙P₀相切．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，即AD⊥DF，
∵AD∥EF，
∴EF⊥DF；
又∵EF過圓心P₀，OF過半徑P₀F的外端，
∴DF切⊙P₀于點F．（3分）

（3）解：如圖，連接HF，P₀H，延長FE交⊙P₀于點N，EF交HG于點M，設(shè)HD=x，DF=y；
∵四邊形ABGH是正方形，
∴AB∥HG，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴HG∥CD；
又∵AD∥EF，
∴HD=MF=xDF=MH=y．
又∵正方形ABGH內(nèi)接于⊙P₀，
∴NE=MF=x，∠P₀HM=45°，
∴在RT△P₀MH中，⊙P₀半徑P₀H=

2

HM=

2

y，
∴NF=NE+EP₀+P₀M+MF=2x+2y；
又∵NF=αP₀H=α

2

y，
∴2x+2y=2

2

y．（4分）①
又∵S_△HDF=

1

2

HD•DF=

1

2

xy=2

2

-2，（5分）②
由①、②可得x=2

2

-2，y=2．（6分）
∴P₀P₁=P₀F-P₁F=P₀M+MF-P₁F=y+x-P₁F=y+x-

1

2

EF=y+x-

1

2

（y+y+x）=

1

2

x，
∴P₀P₁=

2

-1（千米）．（8分）
答：當(dāng)探查裝置P以P₀出發(fā)前行（

2

-1）千米到達(dá)P₁時，A、B、C、D四點恰好在⊙P₁上．

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及圓的切線的判定方法．