Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平行線交⊙O與點D，過點D的切線分別交AB、AC的延長線與點E、F．

（1）求證：AF⊥EF．

（2）小強同學通過探究發(fā)現(xiàn)：AF+CF=AB，請你幫忙小強同學證明這一結論．

Answer 1

【答案】（1）首先連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行線交⊙O與點D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF。

（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB。

【解析】

（1）首先連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行線交⊙O與點D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF。

（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB。　

證明：（1）連接OD，

∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF。

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD。

∴。∴OD⊥BC。∴BC∥EF。

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC。

∴AF⊥EF。

（2）連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BH。

∴∠ADB=∠ADH=90°，

∵在△ABD和△AHD中，，

∴△ABD≌△AHD（ASA）。∴AH=AB。

∵EF是切線，∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD。∴∠EDF=∠HDF。

∵DF⊥AF，DF是公共邊，∴△CDF≌△HDF（ASA）。∴FH=CF。

∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，即AF+CF=AB。