【題目】操作與探究

綜合實(shí)踐課,老師把一個(gè)足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個(gè)正方形紙片ABCD的一側(cè),使邊AM與AD在同
一直線上(如圖1),其中∠AMN=90°,AM=MN.
(1)猜想發(fā)現(xiàn)
老師將三角尺AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α.如圖2,當(dāng)0<α<45°時(shí),邊AM,AN分別與直線BC,CD交于點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)EF.小明同學(xué)探究發(fā)現(xiàn),線段EF,BE,DF滿足EF=BE﹣DF;如圖3,當(dāng)45°<α<90°時(shí),其它條件不變.
①填空:∠DAF+∠BAE=度;
②猜想:線段EF,BE,DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是:
(2)證明你的猜想;
(3)拓展探究
在45°<α<90°的情形下,連結(jié)BD,分別交AM,AN于點(diǎn)G,H,如圖4連結(jié)EH,試證明:EH⊥AN.

【答案】
(1)45,EF=BE+DF
(2)解:證明:如圖3,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)K,使BK=DF,連結(jié)AK.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAD=∠ABK=∠D=90°.

在△ABK和△ADF中,

∴△ABK≌△ADF(SAS),

∴AK=AF,∠BAK=∠DAF.

∵∠AMN=90°,AM=MN,

∴∠MAN=∠N=45°,

∴∠DAF+∠BAE=45°.

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°,

∴∠EAF=∠EAK.

在△AEF和△AEK中, ,

∴△AEF≌△AEK(SAS).

∴EF=EK.

∴EF=BE+DF.


(3)解:證明:如圖4,連結(jié)AC.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°.

∵∠EAF=45°,

∴∠EAF=∠CAD=45°.

∴∠CAE=∠DAH,

∴△ADH∽△ACE.

,

又∵∠CAD=∠EAF=45°,

∴△ADC∽△AHE.

∴∠ADC=∠AHE=90°.

∴EH⊥AN.


【解析】(1)解:①∠DAF+∠BAE=45°;

所以答案是:45;②線段EF,BE,DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE+DF;

所以答案是:EF=BE+DF;

【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀理解:

在解形如3|x-2|=|x-2|+4這一類含有絕對(duì)值的方程時(shí),我們可以根據(jù)絕對(duì)值的意義分x2x≥2兩種情況討論:

①當(dāng)x2時(shí),原方程可化為-3x-2=-x-2+4,解得:x=0,符合x2

②當(dāng)x≥2時(shí),原方程可化為3x-2=x-2+4,解得:x=4,符合x≥2

∴原方程的解為:x=0x=4

解題回顧:本題中2x-2的零點(diǎn),它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了x2x≥2兩部分,所以分x2x≥2兩種情況討論.

知識(shí)遷移:

1)運(yùn)用整體思想先求|x-3|的值,再去絕對(duì)值符號(hào)的方法解方程:|x-3|+8=3|x-3|;

知識(shí)應(yīng)用:

2)運(yùn)用分類討論先去絕對(duì)值符號(hào)的方法解類似的方程:|2-x|-3|x+1|=x-9

(提示:本題中有兩個(gè)零點(diǎn),它們把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了幾部分呢?)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】點(diǎn)DABC內(nèi),點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn),連接DE、CD

1)如圖1,連接AE,若AED=∠A+∠D,求證:AB//CD

2)在(1)的結(jié)論下,過點(diǎn)A的直線MA//ED

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),猜想并驗(yàn)證MABCDE的數(shù)量關(guān)系;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),猜想并驗(yàn)證MABCDE的數(shù)量關(guān)系.

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【題目】如圖,直線y1=kx+2與反比例函數(shù)y2= 的圖象交于點(diǎn)A(m,3),與坐標(biāo)軸分別交于B,C兩點(diǎn).

(1)若y1>y2>0,求自變量x的取值范圍;
(2)動(dòng)點(diǎn)P(n,0)在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)n為何值時(shí),|PA﹣PC|的值最大?并求最大值.

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【題目】如圖1,長(zhǎng)方形放置在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)出發(fā),沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)出發(fā),沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí),兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

1)當(dāng)______時(shí),點(diǎn)追上點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_______

2)當(dāng)時(shí),分別取、的中點(diǎn),如果四邊形的面積等于,請(qǐng)求出時(shí)間的取值;

3)如圖2,連接,已知,在(2)問的條件下,過點(diǎn)于點(diǎn),問在長(zhǎng)方形的四條邊上是否存在點(diǎn),使得線段,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),邊BO在x軸的負(fù)半軸上,∠BOC=60°,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,3 ),反比例函數(shù)y= 的圖象與菱形對(duì)角線AO交D點(diǎn),連接BD,當(dāng)DB⊥x軸時(shí),k的值是( )

A.6
B.﹣6
C.12
D.﹣12

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【題目】規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c

例如:因?yàn)?/span>23=8,所以(2,8)=3

(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:

3,9=_____,(5,125=_____,(,=_____,(-2-32=_____

(2),,試說明下列等式成立的理由:.

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【題目】計(jì)算
(1)計(jì)算:(3﹣π)0+4sin45°﹣ +|1﹣ |
(2)化簡(jiǎn)求值:( + )÷ ,其中x=6.

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【題目】某服裝店用4500元購進(jìn)一批襯衫,很快售完,服裝店老板又用2100元購進(jìn)第二批該款式的襯衫,進(jìn)貨量是第一次的一半,但進(jìn)價(jià)每件比第一批降低了10元.
(1)這兩次各購進(jìn)這種襯衫多少件?
(2)若第一批襯衫的售價(jià)是200元/件,老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤(rùn)不低于1950元,則第二批襯衫每件至少要售多少元?

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同步練習(xí)冊(cè)答案