Question

【題目】如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x﹣4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB，求△PBD面積的最大值；
（3）設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=a（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），

∴﹣ ×4+b=0，解得b= ，

∴直線BD解析式為：y=﹣ x+ ，

當(dāng)x=﹣5時(shí)，y=3 ，

∴D（﹣5，3 ），

∵點(diǎn)D（﹣5，3 ）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，

∴a= ．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= x2﹣ x﹣

（2）

解：設(shè)P（m， m2﹣ m﹣ ）

∴S△BPD= ×9[（﹣ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣ ）]

=﹣ m2﹣ m+10

=﹣ （m+ ）2+

∴△BPD面積的最大值為

（3）

解：如圖，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，

∵由（2）得，DN=3 ，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°= FD，

∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，

點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t=AF+ FD=AF+FH，

∵lBD：y=﹣ x+ ，

∴Fx=Ax=﹣2，F(xiàn)（﹣2，2 ）

∴當(dāng)F坐標(biāo)為（﹣2，2 ）時(shí)，用時(shí)最少

【解析】（1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后求出直線BD的解析式，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值；（2）用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再確定出最大值；（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+ DF．如圖，作輔助線，將AF+ DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．