Question

如圖，直線y=2x與雙曲線交于點(diǎn)A、E，直線AB交雙曲線于另一點(diǎn)B（2m，m），連接EB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F．
（1）m=______；
（2）求直線AB的解析式；
（3）求△BOF的面積；
（4）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且以A，B，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中得：
，解得m=±2；
由于點(diǎn)B在第一象限，所以m＞0，故m=2．
∴B（4，2）．

（2）聯(lián)立直線AB和雙曲線的解析式得：
，解得，；
∴A（-2，-4），E（2，4）；
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：
，解得；
∴直線AB：y=x-2．

（3）∵E（2，4），B（4，2），
∴直線EB：y=-x+6，
∴F（6，0）；
∴S_△BOF=OF•|y_B|=×6×2=6．

（4）由于點(diǎn)P在第一象限，故只有一種情況：BE為平行四邊形的對(duì)角線；
取BE的中點(diǎn)M（3，3），由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以M也是AP的中點(diǎn)；
已知A（-2，-4），故P（8，10）．
分析：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中，即可求得m的值．
（2）聯(lián)立直線AB和雙曲線的解析式，可求得點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式．
（3）根據(jù)E、B的坐標(biāo)，易得直線EB的解析式，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；以O(shè)F為底、B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△OBF的面積．
（4）由于點(diǎn)P在第一象限，那么只有一種情況：BE為平行四邊形的對(duì)角線，易得BE中點(diǎn)的坐標(biāo)，由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，BE中點(diǎn)即為AP的中點(diǎn)，可據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題是反比例函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、圖形面積的求法以及平行四邊形的判定等知識(shí)，難度適中．