Question

在一次研究性學(xué)習(xí)活動中，某小組將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動，順時針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH，如圖所示．小組成員經(jīng)觀察、測量，發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中，有許多有趣的結(jié)論．下面是旋轉(zhuǎn)角度小于90°時他們得到的一些猜想：
①ME=MA；
②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；
③∠MON保持45°不變；
④△EMN的面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度∠AOE的變化而變化．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為45°時△ENN的面積S取得最大值．
請你對這四個猜想作出判斷，把正確的猜想序號寫在橫線上

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OAE=∠OEA，∠MAO=∠MEO=45°，則∠MAE=∠MEA，所以ME=MA；∠MOE+∠NOE=

1

2

∠AOD=

1

2

×90°=45°，即∠MON保持45°不變．并且當(dāng)∠AOE=45°時，△EMN的面積S取得最大值．

解答：解：猜想①正確．理由如下：
如圖1，連接OA、OE、AE，
由已知得：OA=OE，
則∠OAE=∠OEA，
∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，
即∠MAE=∠MEA，
∴ME=MA．
故猜想①正確；

猜想②錯誤．理由如下：
設(shè)正方形紙片ABCD的面積為S₁，兩張正方形紙片的重疊部分的面積為S₂．
當(dāng)兩個正方形紙片ABCD和EFGH重合時，兩張正方形紙片的重疊部分的面積為S₂=S₁．當(dāng)正方形EFGH旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時，兩張正方形紙片的重疊部分的面積S₂＜S₁．即兩張正方形紙片的重疊部分的面積不是定值．
故猜想②錯誤；

猜想③正確．理由如下：
如圖2，連接OA、OE、AE、OD、ED．
證明：OM平分∠EOA，
同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=

1

2

∠AOD=

1

2

×90°=45°，即∠MON保持45°不變．
故猜想③正確；

猜想④正確．理由如下：如圖3，
S_△EMN=

1

2

EM•EN≤

1

2

×

EM2+EN2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)EM=EN時，取“=”，
即當(dāng)EM=EN時，S_△EMN取最大值

EM2+EN2

4

．
此時∠EMN=∠ENM，則OE⊥MN，故∠AOE=45°．
故猜想④正確；
綜上所述，猜想正確的有①③④．
故答案是：①③④．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)角、對應(yīng)線段分別相等，圖形的大小、形狀都不變，正方形是特殊條件最多的圖形，它的性質(zhì)要好好掌握．