Question

【題目】如圖，拋物線 的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴拋物線的解析式是
（2）解：∵ = ，
∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對(duì)稱軸是直線x=1
（3）解：存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），分三種情況討論：
①當(dāng)PA=PD時(shí) = ，
解得，y= ，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）；
②當(dāng)DA=DP時(shí)， = ，
解得，y= ，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）；
③當(dāng)AD=AP時(shí)， = ，
解得，y=±4，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，﹣4），當(dāng)點(diǎn)P為（1，﹣4）時(shí)與點(diǎn)D重合，故不符合題意．
由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）.
【解析】（1）根據(jù)題意得一個(gè)三元一次方程組，解之即可得拋物線解析式.
（2）根據(jù)（1）中得出的解析式，配成頂點(diǎn)式，從而得出頂點(diǎn)式和對(duì)稱軸.
（3）存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），分三種情況討論：①當(dāng)PA=PD時(shí)，②當(dāng)DA=DP時(shí)，③當(dāng)AD=AP時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).