【題目】(1)如圖 1,在邊長(zhǎng)為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.現(xiàn)將ABC 繞點(diǎn) A 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°,點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′, 連接 BB′,如圖所示則∠AB′B= .
(2)如圖 2,在等邊ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P,且 PA=2,PB= ,PC=1,如果將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得出△ABP′,求∠BPC 的度數(shù)和 PP′的長(zhǎng);
(3)如圖3,在中,,,,點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn),連接AO,BO,CO,且,求的值.
【答案】(1)45°;(2)∠BPC=150°,PP′=;(3).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得到△ABB’是等腰直角三角形,即可得到答案;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),BP=BP’,∠PBP’=60°,則是等邊三角形,則,,由利用勾股定理的逆定理,得到是直角三角形,則,即可得到∠BPC;
(3)將△繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△處,連接,利用直角三角形的性質(zhì)求出AB,BC,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得到是等邊三角形,然后得到四點(diǎn)共線,然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)度,即可得到.
解:如圖1所示,連接BB',將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,
∴AB=AB',∠B'AB=90°,
∴∠AB'B=45°.
故答案為:45°;
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP',如圖2,
∴AP'=CP=1,BP'=BP=,∠PBC=∠P'BA,∠AP'B=∠BPC.
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP'是等邊三角形,
∴PP'=,∠BP'P=60°.
∵AP'=1,AP=2,
∴,
∴,
∴∠AP'P=90°,則△PP'A是直角三角形,
∴;
(3)如圖3,將△繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△處,連接,
在中,,,,
,
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),
如圖所示;
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,
,,,
是等邊三角形,
,,
,
,
、O、、四點(diǎn)共線,
在中,,
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠C=α.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,⊙P分別與CA的延長(zhǎng)線、CB的延長(zhǎng)線以及直線AB均只有一個(gè)公共點(diǎn),⊙O的半徑為m,⊙P的半徑為n.
(1)當(dāng)α=90°時(shí),AC=6,BC=8時(shí),m= ,n= .
(2)當(dāng)α取下列度數(shù)時(shí),求△ABC的面積(用含有m、n的代數(shù)式表示).
①如圖①,α=90°;
②如圖②,α=60°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出的的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn),與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),且.
(1)求函數(shù)和的表達(dá)式.
(2)已知直線與軸相交于點(diǎn)在第一象限內(nèi),求反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn),使得.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作圖題:在圖(1)(2)所示拋物線中,拋物線與軸交于、,與軸交于,點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),過平行于軸的直線是它的對(duì)稱軸,點(diǎn)在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)。僅用無刻度的直尺畫線的方法,按要求完成下列作圖:
(1)在圖①中作出點(diǎn),使線段最;
(2)在圖②中作出點(diǎn),使線段最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作,奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.《九章算術(shù)》中記
載:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,間徑幾何?”(如圖①)
閱讀完這段文字后,小智畫出了一個(gè)圓柱截面示意圖(如圖②),其中BO⊥CD于點(diǎn)A,求間徑就是要求⊙O的直徑.再次閱讀后,發(fā)現(xiàn)AB=______寸,CD=____寸(一尺等于十寸),通過運(yùn)用有關(guān)知識(shí)即可解決這個(gè)問題.請(qǐng)你補(bǔ)全題目條件,并幫助小智求出⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑為1,P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)P到⊙O的距離SP的定義如下:若點(diǎn)P與圓心O重合,則SP為⊙O的半徑長(zhǎng);若點(diǎn)P與圓心O不重合,作射線OP交⊙O于點(diǎn)A,則SP為線段AP的長(zhǎng)度.
圖1為點(diǎn)P在⊙O外的情形示意圖.
(1)若點(diǎn)B(1,0),C(1,1),D(0,),則SB= ;SC= ;SD= ;
(2)若直線y=x+b上存在點(diǎn)M,使得SM=2,求b的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)P,Q在x軸上,R為線段PQ上任意一點(diǎn).若線段PQ上存在一點(diǎn)T,滿足T在⊙O內(nèi)且ST≥SR,直接寫出滿足條件的線段PQ長(zhǎng)度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正確的個(gè)數(shù)有( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要修一個(gè)圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管,水管的頂端安一個(gè)噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應(yīng)多長(zhǎng)?
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