Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5． 點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動．其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．
（1）求直線AB的解析式；
（2）t為何值時(shí)，直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，連接AC、MN交于點(diǎn)P，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)N、P、A、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥OA于點(diǎn)D，利用勾股定理求出AD的值，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）梯形面積分為1：2的兩部分，要注意分兩種去情況進(jìn)行分別計(jì)算，利用面積比建立等量關(guān)系求出t的值．
（3）M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出MN的解析式和AC的解析式，利用直線與方程組的關(guān)系求出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形全等求出Q、Q₁的坐標(biāo)，求出直線Q₁P、QN的解析式，再求出其交點(diǎn)坐標(biāo)就是Q₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作BD⊥0A于點(diǎn)D．
∴BD=4，
∵AB=5，
由勾股定理得AD=3
∴OD=6
∴B（6，4）
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，由題意得

4=6k+b 0=9k+b

解得：

k=- 4 3 b=12

∴直線AB的解析式為：y= -

4

3

x+12；

（2）設(shè)t秒后直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分，則
BN=t，CN=6-t，OM=2t，MA=9-2t
當(dāng)S_{四邊形OMNC}：S_{四邊形NMAB}=1：2時(shí)

4(6-t+2t) 2

4(t+9-2t) 2

=

1

2

解得：t=-1（舍去）
當(dāng)S_{四邊形OMNC}：S_{四邊形NMAB}=2：1時(shí)

4(6-t+2t) 2

4(t+9-2t) 2

=

2

1

，
解得t=4
∴t=4時(shí)，直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分．

（3）存在滿足條件的Q點(diǎn)，如圖：Q（9.5，2），Q₁（8.5，-2），Q₂（0.5，6）．

點(diǎn)評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，圖形的面積，直線的解析式與二元一次方程組的關(guān)系，勾股定理及三角形全等的性質(zhì)的運(yùn)用．