Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，點D在AB上，連接CD，并將CD繞點D逆時針旋轉60°得到DE，連接AE．

（1）如圖1，當點D為AB中點時，直接寫出DE與AE長度之間的數量關系；

（2）如圖2，當點D在線段AB上時，

① 根據題意補全圖2；

② 猜想DE與AE長度之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）DE=AE；（2）①補全圖形見解析；②DE=AE，證明見解析.

【解析】

（1）想辦法證明△ADE是等邊三角形即可解決問題．

（2）①根據要求畫出圖形即可．

②首先證明△的長，△FBC都是等邊三角形，再證明△ECF≌△DCB，推出∠4＝∠5＝60°，證明△EFA≌△EFC（SAS）可得結論．

解：（1）結論：DE＝AE．

理由：如圖1中，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC，∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等邊三角形，

∴∠CDB＝60°，

∵DC＝DE，∠CDE＝60°，

∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，

∵DA＝DC，DC＝DE，

∴AD＝DE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DE＝AE．

（2）①圖形如圖2所示：

②如圖2﹣1中，結論：DE＝AE．

理由：取AB的中點F，連接CE，CF，EF．

∵∠ACB＝90°，AF＝BF，

∴CF＝AF＝BF，

∵∠B＝60°，

∴△BCF是等邊三角形，

∵DC＝DE，∠CDE＝60°，

∴△ECD是等邊三角形，

∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，

∴∠1＝∠3，

∴△ECF≌△DCB（SAS），

∴∠5＝∠B＝60°，

∵∠6＝60°，

∴∠4＝∠5＝60°，

∵EF＝EF，FA＝FC，

∴△EFA≌△EFC（SAS），

∴AE＝EC，

∵EC＝ED，

∴AE＝ED．