【題目】如圖,長方形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,現(xiàn)有一動點(diǎn)P從A出發(fā)以2cm/秒的速度,沿矩形的邊A﹣B﹣C運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時,點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離為5cm?
(2)當(dāng)t為何值時,△APD是等腰三角形?
(3)當(dāng)t為何值時,(2<t<5),以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形,且AP是斜邊?

【答案】
(1)

解:如圖1,若點(diǎn)P在BC上,

∵在Rt△ABP中,AP=5,AB=4

∴BP=2t﹣4=3,

∴t= ;

如圖2,若點(diǎn)P在DC上,

則在Rt△ADP中,AP是斜邊,

∵AD=6,

∴AP>6,

∴AP≠5.

綜上所述,當(dāng)t= 秒時,點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離為5cm


(2)

解:)當(dāng)AD=DP時,如圖3,PC=(10﹣2t)cm,CD=4cm,DP=6cm,

∵CD2+PC2=DP2,即42+(10﹣2t)2=62,解得t=5± ,即t1=5+ ,t2=5﹣ ;

當(dāng)DP=AP時,如圖4,PC=PB=3cm,

∵AB=4cm,

∴AB+BP=4+3=7cm,

∴t= (秒);

當(dāng)AD=AP=6時,PB=2t﹣4,

∵AB2+BP2=AP2,即42+(2t﹣4)2=62,解得t=2+ 或t=2﹣ (舍去),

綜上所述,當(dāng)t=(5± )秒或t= 秒時,△APD是等腰三角形


(3)

解:當(dāng)2<t<5時,點(diǎn)P在BC邊上,

∵BP=2t﹣4,CP=10﹣2t,

∴AP2=AB2+BP2=42+(2t﹣4)2

由題意,有AD2+CP2=AP2

∴62+(10﹣2t)2=42+(2t﹣4)2

∴t= <5,

∴t=

答:當(dāng)t= 秒時,以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形,且AP是斜邊


【解析】(1)分為兩種情況:P在BC上,P在DC上,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于t的方程,求出即可;(2)分AD=DP,DP=AP,AD=AP三種情況進(jìn)行討論;(3)求出BP=2t﹣4,CP=10﹣2t,根據(jù)AP2=AB2+BP2=42+(2t﹣4)2和AD2+CP2=AP2得出方程62+(10﹣2t)2=42+(2t﹣4)2 , 求出方程的解即可.
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

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