如圖所示,在矩形ABCD中,E為BC上一動(dòng)點(diǎn),BE=kCE,ED交AC于點(diǎn)P,DQ⊥AC于Q,A精英家教網(wǎng)B=nBC
(1)當(dāng)n=1,k=2時(shí)(如圖1),
CP
PQ
=
 
;
(2)當(dāng)n=
2
,k=1時(shí)(如圖2),求證:CP=AQ;
(3)若k=1,當(dāng)n=
 
時(shí),有CP⊥DE.
分析:(1)根據(jù)題意可以得出Q為正方形的中點(diǎn),AQ=CQ,結(jié)合△ADP∽△CEP,得出CP和AP的關(guān)系,即可得出結(jié)論.
(2)同(1)得出CP和AP的關(guān)系,設(shè)BC=1,則AB=
2
,進(jìn)而得出AC的長(zhǎng),由條件可以證得△ADQ∽△CAB,即得出AD、CA、AQ、BC之間的關(guān)系式,求出AQ的值,即可證得.
(3)把結(jié)論當(dāng)做已知條件,可得△CPE∽△CBA,求得CE、CP、CA、CB之間的關(guān)系式,設(shè)BC=1,則可以表示出AB、AC、PC的值,代入關(guān)系式求解即可.
解答:解:(1)∵矩形ABCD中,AB=AC,
∴AD=BC、AD∥BC,OA=OC,
∴∠DAP=∠ECP,∠ADP=∠CPE,
∴△ADP∽△CEP,
AP
CP
=
AD
CE
,
∵BE=kCE,k=2,
∴AD:CE=3:1,
∴AP:CP=3:1,
CP
PQ
=1.

(2)證明:∵矩形ABCD中,BE=kCE,AB=nBC,n=
2
,k=1,
∴AD∥BC,AD=BC,∠DAP=∠ECP,∠ADP=∠CEP,
∴△ADP∽△CEP,
AD
CE
=
AP
CP
=
2
1

設(shè)BC=1,則AB=
2
,根據(jù)勾股定理得AC=
3
,PC=
3
3

∵DAQ=∠BCA、∠AQD=∠B=90°,
∴△ADQ∽△CAB,
AQ
BC
=
AD
AC
=
1
3
,
∴AQ=
3
3
,
∴CP=AQ.

(3)∵矩形ABCD中,BE=kCE,AB=nBC,k=1,
∴AD∥BC,AD=BC,∠DAP=∠ECP,∠ADP=∠CEP,精英家教網(wǎng)
AD
CE
=
AP
CP
=
2
1
,
設(shè)BC=1,則AB=n,AC=
1+n2
,
∴PC=
1+n2
3

∵CP⊥DE,
∴∠CPE=∠CBA,
∵∠ECP=∠ACB,
∴△CPE∽△CBA,
CE
AC
=
CP
BC
,
1
2
1+n2
=
1+n2
3
1
,
∴n=
2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì),綜合運(yùn)用了三角形相似的性質(zhì),屬于基本的題型,要求熟練掌握.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2
3
,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合),過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn),再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn).設(shè)CP=x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y.
(1)求∠CPQ的度數(shù).
(2)當(dāng)x取何值時(shí),點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上?
(3)當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式.并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍.
精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E是CD邊的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始,沿逆時(shí)針?lè)较蛟诰匦芜吷蟿蛩龠\(yùn)動(dòng),到點(diǎn)E停止.設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x,△APE的面積為S,則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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如圖所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=5cm,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí),精英家教網(wǎng)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).用t表示移動(dòng)時(shí)間,設(shè)四邊形QAPC的面積為S.
(1)試用t表示AQ、BP的長(zhǎng);
(2)試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△QAP為等腰直角三角形?并求出此時(shí)S的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm、點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.
(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,經(jīng)過(guò)
3
3
秒后,四邊形AQCP是菱形;
(2)菱形AQCP的周長(zhǎng)為
20
20
cm、面積為
20
20
cm2

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