Question

已知一次函數(shù)y₁＝2x，二次函數(shù)y₂＝x²＋1．

(1)根據(jù)表中給出的x的值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁、y₂，并填在表格中：

(2)觀察第(1)問表中有關(guān)的數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₂均成立；

(3)試問，是否存在二次函數(shù)y₃＝ax²＋bx＋c，其圖象經(jīng)過點(diǎn)(－5，2)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)填表如下： 　　(2)證明∵yl－y2＝2x－(x2＋1)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，∴當(dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，yl≤y2均成立. 　　(3)解：由已知，二次函數(shù)y3＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－5，2)，得25a－5b＋c＝2．①∵當(dāng)x＝l時(shí)，yl＝y2＝2，y3＝a＋b＋c，若對(duì)于自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，yl≤y3≤y2成立，則有2≤a＋b＋c≤2，∴a＋b＋c＝2．②由①②，得b＝4a，c＝2－5a，∴y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)．當(dāng)yl≤y3時(shí)，有2x≤ax2＋4ax＋(2－5a)，即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0，若二次函數(shù)y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，必須．即．∴a＝．當(dāng)y3≤y2時(shí)，有ax2＋4ax＋(2－5a)≤x2＋1，即(1－a)x2－4ax＋(5a－1)≥0，若二次函數(shù)y＝(1－a)x2－4ax＋(5a－1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，必須．即． 　　∴a＝．綜上，∴a＝，b＝4a＝，c＝2－5a＝, 　　存在二次函數(shù)y3＝x2＋x＋,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，yl≤y3≤y2均成立．