Question

如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線經過A，B，C三點，頂點為F．

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，
∴A（-2，0），B（8，0）。
如圖所，連接CE，

在Rt△OCE中，，CE=5，
由勾股定理得：，
∴C（0，－4）。
（2）∵點A（－2，0），B（8，0）在拋物線上，
∴設拋物線的解析式為。
∵點C（0，－4）在拋物線上，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：，即。
∵。
∴頂點F的坐標為（3，）。
（3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，
∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4。
（I）若y_M=4，則，
整理得：，解得或。
∴點M的坐標為（，4）或（，4）。
（II）若y_M=－4，則，
整理得：，解得x=6或x=0（與點C重合，故舍去）。
∴點M的坐標為（6，－4）。
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（，4）或（，4）或（6，－4）。
②直線MF與⊙E相切。理由如下：
由題意可知，M（6，－4）。
如圖，連接EM，MF，過點M作MG⊥對稱軸EF于點G，則MG=3，EG=4。
在Rt△MEG中，由勾股定理得：，
∴點M在⊙E上。
由（2）知，F（3，），∴EF=。
∴。
在Rt△MGF中，由勾股定理得：，
在△EFM中，∵，
∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°。
∵點M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直線MF與⊙E相切。

（1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標。
（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標。
（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得點M的坐標。
②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與⊙E相切。