Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊在AD的上邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關(guān)系為：；②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為： ．

（2）數(shù)學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，以上①②關(guān)系是否成立，請在后面的橫線上寫出正確的結(jié)論．①BC與CF的位置關(guān)系為：；②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為： ．

（3）如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GD，若已知AB=2 ，CD= BC，請求出DG的長（寫出求解過程）．

Answer 1

【答案】
（1）BC⊥CF；CF=BC-CD
（2）BC⊥CF；CF=CD﹣BC
（3）

解：由題意得：∠BAC=∠FAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BC，

在Rt△ABC中，AC=AB=2 ，

在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，

∴CG= AC= ×2 =4，

同理BC=4，

CD= BC= ×4=1，

∴在Rt△DCG中，DG= = = ．

【解析】（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中， ，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，所以答案是：BC⊥CF；②由①△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD=BC﹣CD，∴CF=BC﹣CD，所以答案是：CF=BC﹣CD；
⑵解：①成立，②不成立；理由如下：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中， ，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠ACB+∠FCB=135°，∴∠FCB=90°，∴BC⊥CF，所以答案是：BC⊥CF；②由①△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD=CD﹣BC，∴CF=CD﹣BC，所以答案是：CF=CD﹣BC；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用垂線的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握垂線的性質(zhì)：1、過一點有且只有一條直線與己知直線垂直．2、垂線段最短；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．