Question

已知：在△ABC中AB=AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，∠BAE=∠BDF，點M在線段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如圖所示，當(dāng)∠ABC=60°時，則線段AE、MD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；
（2）在（1）的條件下，延長BM到P，使MP=BM，連接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）AE=2MD，理由為：由題意得到三角形ABC為等邊三角形，可得出AB=BC，再由D為BC的中點，得到AB=2BD，由已知的兩對角相等，得到△ABE∽△DBM，且相似比為2，可得出AE=2MD，得證；
（2）由于△ABE∽△DBM，相似比為2，故有EB=2BM，由題意知得△BEP為等邊三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D為BC中點，M為BP中點，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由銳角三角函數(shù)的定義求得AD、ND的值，進(jìn)而求得tan∠ACP的值．

解答：解：（1）AE=2MD，理由為：
證明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，又D為BC的中點，
∴AB=BC=2BD，即

AB

BD

=2，
∵∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

AE

DM

=

AB

BD

=2，即AE=2MD；
（2）如圖2，連接AD，EP，過N作NH⊥AC，垂足為H，連接NH，

∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

，
∴tan∠EAB=

BE

AE

=

3

2

，
∵D為BC中點，M為BP中點，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=

3

2

，
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7

2

3

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=

7

4

3

，
∴NA=AD-ND=

7

4

3

，
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7

8

3

，AH=AN•cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

NH

CH

=

3

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，通過作輔助線使線段與線段的關(guān)系得到明確．本題的計算量大，難度適中．