Question

【題目】在等邊中，線段為邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)BE．

（1）若點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖），則 （填“＞”、“＜”或“=”），　 　度；

（2）設(shè)直線BE與直線的交點(diǎn)為O.

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，試判斷是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，理由見(jiàn)解析；②

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以得到∠ACD=∠BCE，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進(jìn)而得到；可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以得到∠ACD=∠BCE，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進(jìn)而得到；

②分情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，由①得：∠AOB=60°；當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵線段AM為BC邊上的中線，

∴∠CAM=∠BAC，

∴∠CAM=30°，

故答案為：=，30°；

（2）①，理由如下：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

，

即，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，由①得：∠AOB=60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°，

∴∠CBE=∠CAD=150°，

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，∠AOB是定值，∠AOB=60°．