Question

【題目】如圖所示，O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：OE⊥DC．

（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】

(1) 要證OE⊥DC，可先證四邊形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四邊形OCED是平行四邊形；又因為ABCD是矩形，所以O(shè)C=OD．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

(2)由(1) 得出△ODC是等邊三角形,所以 DC=OD=OC=2 ,由四邊形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4, 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ，再利用矩形面積公式即可解答.

(1)證明：

∵DE∥AC,CE∥BD

∴DE∥OC,CE∥OD

∴四邊形ODEC是平行四邊形

∵四邊形ODEC是矩形

∴OD=OC

∴四邊形ODEC是菱形

∴OE⊥DC

(2)解：∵DE=2,由（1）知，四邊形ODEC是菱形

∴OD=OC=DE=2

∵∠AOD=120°

∴∠DOC=60°

∴△ODC是等邊三角形

∴DC=OD=OC=2

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=2CO=4

在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2

∴S矩形ABCD=2×2=4