Question

如圖，已知直線AB與x軸交于點C，與雙曲線y=

k

x

交于A（3，

20

3

）、B（-5，a）兩點．AD⊥x軸于點D，BE∥x軸且與y軸交于點E．
（1）求點B的坐標及直線AB的解析式；
（2）判斷四邊形CBED的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點A代入雙曲線方程求得k值，即利用待定系數(shù)法求得雙曲線方程；然后將B點代入其中，從而求得a值；設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將A、B兩點的坐標代入，利用待定系數(shù)法解答；
（2）由點C、D的坐標、已知條件“BE∥x軸”及兩點間的距離公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，從而可以證明四邊形CBED是平行四邊形；然后在Rt△OED中根據(jù)勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，從而證明四邊形CBED是菱形．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

過A（3，

20

3

），
∴k=20．
把B（-5，a）代入y=

20

x

，得
a=-4．
∴點B的坐標是（-5，-4）．（2分）
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
將A（3，

20

3

）、B（-5，-4）代入，得

20 3 =3m+n -4=-5m+n

，
解得：

m= 4 3 n= 8 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

8

3

；（4分）

（2）四邊形CBED是菱形．理由如下：（5分）
∵直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

8

3

，
∴當(dāng)y=0時，x=-2，
∴點C的坐標是（-2，0）；
∵點D在x軸上，AD⊥x軸，A（3，

20

3

），
∴點D的坐標是（3，0），
∵BE∥x軸，
∴點E的坐標是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四邊形CBED是平行四邊形．（6分）
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=

32+42

=

9+16

=

25

=5，
∴ED=CD．
∴平行四邊形CBED是菱形．（8分）

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題．解答此題時，利用了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．