Question

已知1-

1

2

=

1

2

，

1

2

-

1

3

=

1

6

，

1

3

-

1

4

=

1

12

，

1

4

-

1

5

=

1

20

…根據(jù)這些等式求值，
（1）計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

的值；
（2）根據(jù)計算（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試猜想

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

…+

1

2008×2009

的值．

Answer 1

分析：從題中

1

1×2

=

1

1

-

1

2

=

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

=

1

6

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

=

1

12

可知

1

n

× 

1

n+1

=

1

n

- 

1

n+1

，從而求（1），（2）

解答：解：因為，

1

1×2

=

1

2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

49×50

=

1

49

-

1

50

（4分）
所以，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

49×50

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

48

-

1

49

+

1

49

-

1

50

（6分）
=1-

1

50

=

49

50

（8分）

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-…-

1

2009

=1+（-

1

2

+

1

2

）+（-

1

3

+

1

3

）+（-

1

4

+

1

4

）-…-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

（10分）

點評：本題考查學(xué)生對于數(shù)字變化規(guī)律型的題目要有一定總結(jié)和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)思想．