【題目】為迎接中國森博會,某商家計劃從廠家采購A,B兩種產(chǎn)品共20件,產(chǎn)品的采購單價(元/件)是采購數(shù)量(件)的一次函數(shù),下表提供了部分采購數(shù)據(jù).

采購數(shù)量(件)

1

2

A產(chǎn)品單價(元/件)

1480

1460

B產(chǎn)品單價(元/件)

1290

1280


(1)設(shè)A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x(件),采購單價為y1(元/件),求y1與x的關(guān)系式;
(2)經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的 ,且A產(chǎn)品采購單價不低于1200元,求該商家共有幾種進(jìn)貨方案;
(3)該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A,B兩種產(chǎn)品,且全部售完,在(2)的條件下,求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大,并求最大利潤.

【答案】
(1)解:設(shè)y1與x的關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b,

由表知 ,

解得k=﹣20,b=1500,

即y1=﹣20x+1500(0<x≤20,x為整數(shù))


(2)解:根據(jù)題意可得

,

解得11≤x≤15,

∵x為整數(shù),

∴x可取的值為:11,12,13,14,15,

∴該商家共有5種進(jìn)貨方案


(3)解:解法一:y2=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,

令總利潤為W,

則W=(1760﹣y1)x+(20﹣x)×[1700﹣(10x+1100)]=30x2﹣540x+12000,

=30(x﹣9)2+9570,

∵a=30>0,

∴當(dāng)x≥9時,W隨x的增大而增大,

∵11≤x≤15,

∴當(dāng)x=15時,W最大=10650;

解法二:根據(jù)題意可得B產(chǎn)品的采購單價可表示為:

y2=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,

則A、B兩種產(chǎn)品的每件利潤可分別表示為:

1760﹣y1=20x+260,

1700﹣y2=﹣10x+600,

則當(dāng)20x+260>﹣10x+600時,A產(chǎn)品的利潤高于B產(chǎn)品的利潤,

即x> =11 時,A產(chǎn)品越多,總利潤越高,

∵11≤x≤15,

∴當(dāng)x=15時,總利潤最高,

此時的總利潤為(20×15+260)×15+(﹣10×15+600)×5=10650.

答:采購A種產(chǎn)品15件時總利潤最大,最大利潤為10650元


【解析】(1)抓住已知產(chǎn)品的采購單價(元/件)是采購數(shù)量(件)的一次函數(shù),因此設(shè)函數(shù)解析式,將表中的兩組對應(yīng)值代入求解即可。
(2)此小題的不等關(guān)系是:采購A產(chǎn)品的數(shù)量≥B產(chǎn)品數(shù)量的 ,且A產(chǎn)品采購單價≤1200,建立不等式組,求出其解集,找出整數(shù)解,即可求得進(jìn)貨方案。
(3)解法一、先寫出總利潤W與x的函數(shù)關(guān)系式,求出其頂點坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),及自變量的取值范圍求得結(jié)果;方法二、根據(jù)題意可得B產(chǎn)品的采購單價y與x的函數(shù)關(guān)系式,再表示出A、B兩種產(chǎn)品的每件利潤,建立不等式,求出當(dāng)x=15時,總利潤最高,即可求出最大利潤。
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值,掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題.

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