如圖：四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，點B在EF邊上.

（1）請你找出圖中一對相似三角形（相似比不等于1），并加以證明；
（2）若四邊形ABCD的面積為20，求四邊形AEFC的面積．

（1）證明見解析；（2）20.

解析試題分析：（1）由于四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，易在圖形中找到兩三角形相似，如：△AEB    ∽△CBA或△AEB∽△BFC；△AEB∽△ADC；△CAB∽△BFC；△BFC∽△ADC .
（2）因為，又△AEB∽△CBA，所以，即，從而可求出四邊形AEFC的面積.
試題解析：（1）△AEB∽△CBA.（或△AEB∽△BFC；△AEB∽△ADC；△CAB∽△BFC；△BFC∽△ADC.）
證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFC是矩形，
∴∠E=∠CBA=∠EAC=90°.
∵∠EAB+∠CAB=90°，∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAB.
∴△AEB∽△CBA.
（2）∵△AEB∽△CBA，
∴.
∴.
∵
∴
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4．一動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點C即停止．在整個運動過程中，過點P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點D，延長PD至點Q，使得PD=QD，以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）在整個運動過程中，設(shè)△ABC與△PQE重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（2）當點D在線段AB上時，連接AQ、AP，是否存在這樣的t，使得△APQ成為等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由；
（3）當t=4秒時，以PQ為斜邊在PQ右側(cè)作等腰直角三角形PQF，將四邊形PEQF繞點P旋轉(zhuǎn)，PE與線段AB相交于點M，PF與線段AC相交于點N．試判斷在這一旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求出四邊形PMAN的面積y與PM的長x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；若不發(fā)生變化，求出此定值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）如圖1，將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA,OB交于點C，D．

①比較大�。篜C______PD． (選擇“>”或“<”或“=”填空）；
②證明①中的結(jié)論．
（2）將三角板的直角頂點P在射線ＯＭ上移動，一直角邊與邊OA交于點C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點D，E，當以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，試求的長．（提示：請先在備用圖中畫出相應(yīng)的圖形，再求的長）.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，聯(lián)結(jié)AF、AE，交BD于點G．
（1）如圖（1），求證：∠EAF=∠ABD；

圖（1）
（2）如圖（2），當AB=AD時，M是線段AG上一點，聯(lián)結(jié)BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

圖（2）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

觀察計算：
當，時，與的大小關(guān)系是_________________．
當，時，與的大小關(guān)系是_________________．
探究證明：
如圖所示，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過C作于D，設(shè)，BD=b．

（1）分別用表示線段OC，CD­；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
歸納結(jié)論：
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：______________．
實踐應(yīng)用：
要制作面積為4平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知:如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上一點，且∠AED =∠B.若AE=5，AB=9，CB=6.

（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）求ED的長.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A、D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點C，另一直角邊與AB交于點E．

（1）證明△DPC∽△AEP；
（2）當∠CPD＝30°時，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2，sinB=，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連結(jié)AP．

（1）求、的長；
（2）設(shè)的長為，的面積為．當為何值時，最大并求出最大值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的邊長為AO=6，AC=8，
（1）如圖①，E是OB的中點，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形AOBC內(nèi)部，延長AF交BC于點G．求點G的坐標；

（2）定義：若以不在同一直線上的三點中的一點為圓心的圓恰好過另外兩個點，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動點P以每秒2個單位的速度由點C向點A沿線段CA運動，同時點Q以每秒4個單位的速度由點O向點C沿線段OC運動；求：當 PQC三點恰好構(gòu)成黃金圓時點P的坐標．

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