Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A、B、P分別在兩坐標(biāo)軸上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以點(diǎn)P為圓心、PB為半徑作⊙P，作∠OBP的平分線分別交⊙P、OP于C、D，連接AC．

（1）求證：直線AB是⊙P的切線．

（2）設(shè)△ACD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

（3）如圖2，當(dāng)m=2時(shí)，把點(diǎn)C向右平移一個(gè)單位得到點(diǎn)T，過O、T兩點(diǎn)作⊙Q交x軸、y軸于E、F兩點(diǎn)，若M、N分別為兩弧的中點(diǎn)，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足為G、H，試求MG+NH的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析: （1）根據(jù)切線的判定定理證得∠ABP=90°后即可判定切線；

（2）連接PC，根據(jù)∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，從而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面積公式得到S=m2；

（3）作TJ⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，從而得到NH=NR=OF和MG=OE，最后求得MG+NH=（OE+OF）=×4=2.

詳解:

（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，

∴PB=m，

∴PO=PB=m，OB=m，

又∵PA=2m，

∴OA=m，

在RT△OAB中，AB=m

∴PA2+AB2=PA2

∴∠ABP=90°，

∵PB是⊙P的半徑，

∴直線AB是⊙P的切線．

（2）連接PC，

∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，

∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD

∴AD=AB=m，

又∵PB=PC=m，

∴PC∥OC

∴∠CPA=∠POB=90°，

∴S△ACD=AD×CP= m×m=m2；

（3）作TG⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，

當(dāng)m=2時(shí)，PO=m，由（2）知∠CPA=90°，

∴C點(diǎn)為 （1，-2），

∴T為（2，-2，）TG=TK=2，

∴點(diǎn)T在∠EOF的平分線上，∴

∴TE=TF，

∴△ETG≌△FTK，

∴EF=EG，

∴OE+OF=OG-EG+OK+FK=OG+OK=4

延長NH交⊙Q于R，連接QN，QR，∵∠EOF=90°，

∴EF為⊙Q的直徑，∴

∴NR=OF

∴NH=NR=OF

同理MG=OE

∴MG+NH=（OE+OF）=×4=2

點(diǎn)睛: 本題考查了圓的綜合知識(shí)，難度較大，一般為中考題的壓軸題.