Question

【題目】“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無(wú)措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：

實(shí)例一：1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽非爾德利用實(shí)例一圖證明了勾股定理：由四邊形得，化簡(jiǎn)得：．

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于的方程的圖解法是：畫(huà)，使，，，再在斜邊上截取，則的長(zhǎng)就是該方程的一個(gè)正根(如實(shí)例二圖)．

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問(wèn)題：

（1）如圖1，請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫(xiě)出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是　　　　，乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是　　　　，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是　　　　；

（2）如圖2，按照實(shí)例二的方式構(gòu)造，連接，請(qǐng)用含字母、的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，的表達(dá)式能和已學(xué)的什么知識(shí)相聯(lián)系；

（3）如圖3，已知，為直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)，，求證：．

　　　　

　　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；（2），的表達(dá)式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)大正方形面積=各個(gè)部分面積之和，即可得到完全平方公式和平方差公式，進(jìn)而即可得到答案；

（2）根據(jù)勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

（3）連接，，易證，，結(jié)合，即可得到結(jié)論．

（1）如圖1中，圖甲大正方形的面積，

圖乙中大正方形的面積，即：．

它們都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．

故答案是：完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；

（2）∵在中，，，

∴，

∴；

解，由求根公式可得，

答：的表達(dá)式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；

（3）由已知，可得，連接，．

∵為直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，即，

∵在中，，

∴，即，

∴．