Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣m與y軸交于點(diǎn)A，直線a：y＝x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D（其中m＞0）．

（1）當(dāng)AB＝12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長(zhǎng)最��；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；

（3）若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“整點(diǎn)”．當(dāng)m＝2020時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）△BOP的周長(zhǎng)的最小值為6+6；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)C到直線l距離最大，最大值為1；（3）4042個(gè)．

【解析】

（1）由已知分別求出，，，；連接BD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為P；求出BD的值即可求的周長(zhǎng)的最小值；

（2）點(diǎn)C到直線l距離為，當(dāng)時(shí)，該距離有最大值；

（3）分別求出，，，，時(shí)滿(mǎn)足條件的“整數(shù)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，由此推理出時(shí)，“整數(shù)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

解：由已知可得A（0，﹣m），B（0，m），

∵y＝x2+mx的頂點(diǎn)為C，

∴C（﹣，﹣），

∵y＝x2+mx與x軸交點(diǎn)為（0，0），（﹣m，0），

∴D（﹣m，0）；

（1）∵AB＝12，

∴m＝6，

∴D（﹣6，0），B（0，6），

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣，

∴D與O關(guān)于x＝﹣，

連接BD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為P；

∵DP＝OP，

∴△BOP的周長(zhǎng)＝BO+BP+PO＝BO+BP+PD＝BO+BD；

∵BD＝6，OB＝6，

∴△BOP的周長(zhǎng)的最小值為6+6；

（2）∵點(diǎn)C在直線l上方，

∴點(diǎn)C到直線l距離為﹣﹣（﹣m）＝﹣+m＝﹣（m﹣2）2+1，

當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)C到直線l距離最大，最大值為1；

（3）當(dāng)n＝1時(shí)，y＝x+1與y＝x2+x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有4個(gè)，

當(dāng)n＝2時(shí)，y＝x+2與y＝x2+2x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有6個(gè)，

當(dāng)n＝3時(shí)，y＝x+3與y＝x2+3x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有8個(gè)，

當(dāng)n＝4時(shí)，y＝x+4與y＝x2+4x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有10個(gè)，

……

當(dāng)n＝2020時(shí)，y＝x+2020與y＝x2+2020x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有4042個(gè)．