Question

【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．

（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）S=（t<10），（t>10）； （2）；（3）不變，理由參見解析．

【解析】

試題由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，所以一些問題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)我們應(yīng)分類回答．

試題解析：（1）當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10-t

∴s=×t×(10t)=(10tt2)

當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB得延長線上，此時(shí)CQ=t，PB=t-10

∴s=×t×(t10)=(t210t)

（2）∵S△ABC=ABBC=50

∴當(dāng)t＜10秒時(shí)，S△PCQ=(10tt2)=50

整理得t2-10t+100=0無解

當(dāng)t＞10秒時(shí)，S△PCQ=(t210t)="50"

整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去負(fù)值）

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5+5秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC.

（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變

證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對(duì)角線EM的一半

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變